Enrico ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 7 mesi fa

Matematica ?

Trova per quale numero reale è minima la differenza tra il suo cubo e il numero stesso

3 risposte

Classificazione
  • Anonimo
    7 mesi fa

    x = numero reale; D(x) = differenza in funzione di x.

    D(x) = x^3 - x.

    D'(x) = 3x^2 - 1 <== Derivata prima.

    Punti stazionari:

    D'(x) = 0 ==> 3x^2 - 1 = 0 ==> 3x^2 = 1 ==> x^2 = 1/3 ==> x = ±√(1/3) = ±1/√3.

    Test della derivata seconda:

    D''(x) = [D'(x)]' = [3x^2 - 1]' = 6x.

    Se x = -1/√3 ==> D''(-1/√3) = 6 * (-1/√3) ==> Valore minore di zero ==> Massimo.

    Se x = √(1/3) ==> D''(1/√3) = 6 * (1/√3) ==> Valore maggiore di zero ==> Minimo.

    SOLUZIONE:

    x = 1/√3.

    O, in alternativa (razionalizzando il denominatore): x = (√3)/3.

    FACOLTATIVO:

    D(1/√3) = (1/√3)^3 - 1/√3 = 1/(3√3) - 1/√3 = 1/√3 * (1/3 - 1) = 1/√3 * (-2/3) =

    = -2/(3√3) = -(2/9) * √3 (valore circa uguale a -0.385 alla terza cifra decimale). 

    GRAFICO: https://www.desmos.com/calculator/48zcuktzzs

  • Io
    Lv 5
    7 mesi fa

    f(x) = x^3 - x

    derivo:

    f '(x) = 3 x^2 - 1

    studio del segno di f '(x):

    3 x^2 - 1 >= 0

    In

    x <= -(sqrt 3)/3 V x>= +(sqrt 3)/3

    la derivata prima è crescente

    In

    -(sqrt 3)/3 < x < +(sqrt 3)/3

    la derivata prima è decrescente

    Quindi:

    x = - (sqrt 3) / 3 punto di massimo

    x = + (sqrt 3) / 3 punto di minimo

    il numero cercato è:

    x = + (sqrt 3) / 3

    spero tutto chiaro.

    ciao ciao

  • exProf
    Lv 7
    7 mesi fa

    Il polinomio

    * y = p(x) = x^3 - x = (x + 1)*x*(x - 1)

    avendo tre zeri reali deve avere sia un minimo che un massimo relativi fra gli zeri di

    * p'(x) = 3*x^2 - 1 [= 0 per x = ± 1/√3]

    ---------------

    Il minimo relativo è là dove

    * p''(x) = 6*x

    è positivo, cioè per x > 0.

    ---------------

    Dalle due condizioni

    * (x > 0) & (x = ± 1/√3) ≡ x = 1/√3

    s'individua la risposta

    * y = p(1/√3) = (1/√3 + 1)*(1/√3)*(1/√3 - 1) = - (2/9)*√3 ~= - 0.3849

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    Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3Dx%5E3-...

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