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Tony ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Mi spiegate passo a passo come si fa lo studio di funzione di INTEGRALE TRA 0 E x di[ log(1+t)/ |t| ] dt Grazie?

3 risposte

Classificazione
  • Dark
    Lv 4
    1 mese fa
    Risposta preferita

              x

    F(x) = ∫  log(1+t)/(|t|)

              0

    f(t) = log(1+t)/(|t|)

    Domf(t) = (-1,0) U (0,+oo)

    Certamento F(0) è ben definita per cui possiamo includere 0 nel dominio di F(x)

    Vediamo se si può includere -1:

                 -1                           0                         -1/2                    0

    F(-1)  =  ∫ log(1+t)/(|t|) = - ∫ log(1+t)/(|t|) = - ∫ log(1+t)/(|t|) -  ∫ log(1+t)/(|t|) = π²/6

                 0                           - 1                       -1                        -1/2

    Per cui x = -1 ∈ DomF(x)

    Allora DomF(x) = [-1,+oo)

    Per lo studio dei limiti manca da studiare x -> +oo

    +oo                    1                      +oo

    ∫ log(1+t)/(|t|) = ∫ log(1+t)/(|t|) + ∫ log(1+t)/(|t|) , in questo caso l'integrale diverge

    0                        0                        1

    F'(x) = log(1+x)/(|x|)

    log(1+x)/(|x|) ≥ 0 

    Sol: x > 0

    Nota come x = 0 è un punto di non derivabilità, più precisamente un punto angoloso

    Per cui F(x) cresce per (0,+oo) e decresce per [-1,0)

    Da questa informazione sappiamo anche che F(x) ≥ 0 ∀x∈DomF(x)

    per cui x = 0 è un punto di minimo (assoluto e relativo)

    F''(x) >= 0

    Verificato per x∈(-1,0) per cui F(x) sarà convessa in [-1,0] e concava in (0,+oo)

    con x=0 punto di flesso 

    Grafico molto approssimativo:

    Attachment image
  • exProf
    Lv 7
    1 mese fa

    L'integranda

    * f(t) = ln(t + 1)/|t|

    è indefinita per t in {- 1, 0}

    ha valore complesso per t < - 1

    ha valore reale per (t > - 1) & (t != 0)

    NON E' ELEMENTARMENTE INTEGRABILE

    ---------------

    L'integrale indefinito è

    * F(t) = ∫ f(t)*dt = - sgn(t)*polyLog(2, - t)

    dove "polyLog(2, z)" denota la funzione di Jonquière di secondo grado, cioè il cosiddetto dilogaritmo

    * polyLog(2, z) = Σ [k = 1, ∞] z^k/k^2

    ---------------

    L'integrale definito è

    * I(f, a, b) = ∫ [t = a, b] f(t)*dt = F(b) - F(a) =

    = sgn(a)*polyLog(2, - a) - sgn(b)*polyLog(2, - b)

    ------------------------------

    La funzione integrale che dici tu pertanto è

    * I(f, 0, x) = ∫ [t = 0, x] f(t)*dt =

    = sgn(0)*polyLog(2, - 0) - sgn(x)*polyLog(2, - x) =

    = - sgn(x)*polyLog(2, - x)

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=-+sgn%28x%29*...

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  • 1 mese fa

    ........x

    F(x)=∫log(1+t)/|t| dt

    ........0

    1. Dominio F(x)

    Dominio della funzione integranda f(t)

    log (1+t) ⇒ t > -1

    /|t| ⇒ t≠0

    Dominio f(t)=(-1,0) U (0,+oo)

    Studiamone il comportamento sul punto di discontinuità.

    • lim f(t) = -1 (è parente di un limite notevole)

    t→0⁻

    • lim f(t) = 1 (è un limite notevole)

    t→0⁺

    Quindi la funzione integranda è continua (salvo in un numero finito di punti) e limitata, quindi integrabile in tutto (-1,+oo) 

    Dominio F(x)=(-1,+oo)

    La funzione F(x) risulta continua (integrale di Riemann) e derivabile in (-1,0) U (0,+oo).

    2. Segno

    • per x=0 si ha F(x)=0 

    • per x>0 si ha f(t)>0 quindi F(x) crescente ⇒ F(x)>0

    • per x<0 si ha f(t)<0 quindi F(x) decrescente ⇒ F(x)>0 

    Da tutto questo si deduce che in x=0 si ha un minimo assoluto.

    3. Limiti F(x)

    • lim F(x) = π²/6 (F(x) non è una funzione esprimibile con funzioni 

    x→-1⁺

    note. 

    NB: è limitata.

    • lim F(x) = +oo (è divergente perché l'integranda è asintotica a 1/t)

    x→+oo

    questo significa che Sup F(x) = +oo 

    4. Max/min assoluti

    Max assoluto non esiste visto che Sup f(x)=+oo

    min assoluto F(x)=0 per x=0 visto in precedenza.

    dalle considerazioni fatte al punto segno se ne deduce che è unico.

    5. Max/min relativi.

    Le considerazioni fatte al capitolo segno escludono la presenza di tali punti. Possiamo comunque verificate con la tecnica dei punti stazionari la veridicità delle affermazioni

    F '(x) = f(x) = log(1+x)/|x| 

    F'(x) = 0 per x≟0 dove però non è definita

    Nessun punto stazionario.

    Il minimo relativo è assunto in un punto singolare e coincide con il minimo assoluto.

    7. Classificazione punti singolari.

    Abbiamo già determinato che F(x) presenta un unico punto singolare per x=0. (cioè dove no esiste la derivata). Verifichiamo se trattasi di una cuspide o di un punto angoloso, tramite le derivate laterali.

    • D⁻F(0)=lim (t→0⁻) log(1+t)/(-t) = -1 

    in  questo caso la tangente coincide con bisettrice del 2° quadrante  

    • D⁺F(0)=lim (t→0⁺) log(1+t)/(t) = 1 

    in questo caso la tangente coincide con bisettrice del 1° quadrante 

     

    8. Convessità/concavità

    Derivata seconda

    • per x>0 

    F"(x)= [x(1-log(1+x)-log(1+x)] / [(1+x)*x²]

    Studio del segno:

    denominatore positivo, Numeratore negativo ⇒ concava 

    • per x<0

    F"(x)= - [x(1-log(1+x)-log(1+x)] / [(1+x)*x²]

    Studio del segno:

    denominatore positivo, Numeratore positivo ⇒ convessa.

    9. Grafico

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT+int+log...

    si tratta di ribaltare la parte negativa cioè quella compresa tra (-1,0)

    da notare la presenza di un flesso a tangente verticale discendente nel punto x=-1, infatti f(t) → -oo per t→-1⁺

     

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