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Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Studio di funzioni, aiutatemi ?

Ciao a tutti, è da ore che provo a fare queste funzioni ma non ho idea di come si facciano.

Dovrei trovare:

-Dominio

-Segno

-intersezioni con assi

-eventuali asintoti 

-punti di discontinuità e singolarità 

Di queste due funzioni :

y=sinx/x      e        y=1/x

Aiutatemi vi prego 🙏🙏🙏

1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    1 mese fa
    Risposta preferita

    y=sinx/x  

    Dominio.

    La funzione è del tipo trascendente fratta, è noto che il denominatore dovrà essere diverso da zero. Il numeratore non ha alcun problema.

    Dominio=ℝ\{0}

    Segno.

    f(x) = 0 per x=kπ con k∈ℤ\{0} (per k=0 non è definita

    f(x) > 0 in due famiglie di intervalli 

    i) Se x è positivo

    0+2kπ<x<π+2kπ con k∈ℕ₀

    (coincide con gli intervalli deve il seno è positivo)

    ii) Se x è negativo

    -π+2kπ<x<0+2kπ con - k∈ℕ₀

    (coincide con gli intervalli deve il seno è negativo, ecco del perché del meno davanti al k. - k∈ℕ₀ sono tutti i numeri negativi zero escluso.)

    f(x) < 0 in due famiglie di intervalli

    i) Se x è positivo

    π+2kπ<x<2π+2kπ con k∈ℕ₀

    (coincide con gli intervalli deve il seno è negativo)

    ii) Se x è negativo

    -2π+2kπ<x<-π+2kπ con - k∈ℕ₀

    (coincide con gli intervalli deve il seno è positivo)

    Intersezione con gli assi

    Asse delle ordinate. Nessuna intersezione essendo non definita per x=0

    Asse delle ascisse. Caso discusso nel capitolo segno 

    f(x) = 0 per x=kπ con k∈ℤ\{0} (per k=0 non è definita

    limiti e asintoti

    lim f(x) = 0 è nullo per entrambi i versi

    x→±oo

    Ciò comporta la presenza di un asintoto orizzontale di equazione y=0

    lim sinx/x = 1

    x→0

    limite notevole. Nessun asintoto verticale.

    Punti di discontinuità

    x=0 

    è l'unico punto di discontinuità. E' di 3° tipo cioè del tipo eliminabile, infatti la funzione può essere estesa con continuità ponendola 

    f(x)=0 per x=0

    Punti di singolarità.

    Nessuno. La funzione è derivabile in tutto il suo dominio essendo un rapporto di due funzioni elementari derivabili in tutto ℝ.

    Grafico

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT+y%3Dsin...

    y=1/x 

    questa è un'iperbole equilatera riferita agli asintoti.

    Dominio

    Essendo una funzione fratta, avremo

    Dominio=ℝ\{0}

    Segno

    y(x) > 0 per x>0

    y(x) < 0 per x<0

    Intersezione con gli assi

    - asse delle ordinate. Nessuna essendo x=0 fuori dominio

    - asse delle ascisse. Nessuna poiché 1/x = 0 non ha soluzione.

    limiti e asintoti

    lim f(x) = 0 

    x→±oo

    Ciò comporta la presenza di un asintoto orizzontale di equazione y=0

    lim 1/x = -oo

    x→0 ⁻

    lim 1/x = +oo 

    x→0⁺

    Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x=0

    Punti di discontinuità

    x=0 

    è l'unico punto di discontinuità. E' di 2° tipo .

    Almeno un lato diverge all'infinito, in questo caso ne abbiamo due.

    Punti di singolarità.

    Nessuno. La funzione è derivabile in tutto il suo dominio essendo un rapporto di due funzioni elementari (la 1 e la x) derivabili in tutto ℝ.

    Grafico

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT+y%3D1%2...

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