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Tony ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

date due funzioni f,g su un intervallo [a,b] integrabili come dimostro che 1) f*g è integrabile 2) l'integrale di f*g è diverso dallo.?

integrale di f * l'integrale di g.

Grazie

1 risposta

Classificazione
  • 1 mese fa
    Risposta preferita

    Senza ulteriori ipotesi sono entrambe false. Ecco i contro-esempi

    1)

    Scegliamo [a,b]=[0,1]

    • f(x)=1/√x per x∈(0,1]

    .......=0 per x=0

    è integrabile secondo Riemann infatti

    1

    ∫ f(x)dx = 2

    0

    • g(x)=1/(2√x) per x∈(0,1]

    ........= 0 per x=0

    è integrabile secondo Riemann infatti

    1

    ∫ g(x)dx = 1

    0

    Ma f(x)*g(x) risulta essere

    • f(x)*g(x) = 1/(2x) per x∈(0,1]

    ................= 0 per x=0

    Non è integrabile (integrale diverge a +oo).

    2)

    Prendo a caso due funzioni

    f(x)=x per x∈[0,1]

    g(x)=x² per x∈[0,1]

    f(x)*g(x)=x³ per x∈[0,1]

    1

    ∫ f(x)dx = 1/2

    0

    1

    ∫ g(x)dx = 1/3

    0

    1

    ∫ f(x)*g(x)dx = 1/4

    0

    mentre il prodotto dei due integrali vale 1/6.

     

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