Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 4 mesi fa

Aiuto problema matematica?

Due segmenti, AB e CD, si intersecano in un punto M tale che AM:CM=DM:BM. Dimostra che il punto D appartiene alla circonferenza passante per A,B,C.

1 risposta

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  • Anonimo
    4 mesi fa

    Se disegni la figura appare il quadrilatero ABCD :

    i triangoli AMC e BMD sono simili per il II Criterio di similitudine, perchè hanno due

    coppie di lati proporzionali e gli angoli compresi congruenti in quanto opposti al vertice. Pertanto anche gli angoli opposti ai lati omologhi sono ordinatamente congruenti.

    In particolare poniamo ACM^ = alfa e  DBM^ = alfa

    e CAM^ = beta = BDM^.

    Lo stesso ragionamento vale per BMC e AMD : sono simili per il secondo criterio di similitudine, e allora gli angoli che si oppongono a lati proporzionali sono congruenti.

    Poniamo allora  BCM^ = gamma = DAM^ e  CBM^ = delta = ADM^

    Constatiamo allora che    A^ = beta + gamma, B^ = alfa + delta

    C^ = alfa + gamma,  D^ = beta + delta

    per cui A^ + B^ =beta + gamma + alfa + delta  =  alfa + gamma + beta + delta =

    = C^ + D^

    ma poichè   A^ + B^ + C^ + D^ = 2P^

    segue    A^ + B^ = P^ e   C^ + D^ = P^.

    Nel quadrilatero ABCD gli angoli opposti sono supplementari e quindi tale quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza

    =>  D si trova sulla circonferenza passante per A, B, C.

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