Massimo ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 7 mesi fa

Oscillatore armonico?

Ciao a tutti, sto provando a risolvere questo ese sull'oscillatore armonico: Una pallina, collegata ad una molla, oscilla di moto armonico con velocità v(t) = 2sin 4t misurata in m/s. Determinare la posizione e l'accelerazione in funzione del tempo, sapendo che nell'istante iniziale s0 = 2m. Rappresentare graficamente le tre leggi s(t), v(t) e a(t) durante un oscillazione completa.

Le soluzioni mi dicono che  s(t) = -1/2 cos4t +5/2

a(t) = 8cos4t

Io sò che tra le formule dell'oscillatore vi è questa x(t) = A cos(w t +fi).

e quella della pulsazione w= radical(k/m)

sostituendo la v(t) non riesco a far combaciare la soluzione, che parte manca?

grazie a tutti quelli che risponderanno

2 risposte

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    Lv 7
    7 mesi fa
    Risposta preferita

    v(t) = 2 sin(4t)

    v(t) = s'(t) =ds/dt    è la derivata di s(t).

    integrando:

    s(t) = integrale di v(t) dt = 1/4*integrale 2*sen(4t)d(4t) = 2/4*integrale senx dx = 1/2(-cosx+c1) = -1/2cos(4t) + c     ...... ove c = c1/2  è costante arbitraria

    { oppure... sapendo che Dcos(4t) = -sen(4t) * 4 ---> sen(4t) = -Dcos(4t) / 4

    s(t) = integrale di v(t) dt =2* integrale sen(4t)dt= - 2/4*integrale Dcos(4t)dt = -1/2(cos(4t)+c1) = -1/2cos(4t) + c ...... ove c = - c1/2 è costante arbitraria}

    sappiamo che è so =s(0) = 2 m; tale condizione iniziale ci determina c.

    s(0) = -1/2cos(4*0) + c ---> 2 = -1/2*1+ c ---> c =5/2

    s(t) = - 1/2 * cos(4t) + 5/2

    l'accelerazione è la derivata di v(t);

    a = v'(t) = dv/dt = 2*cos(4t) *4 = 8cos(4t)

    w= radq(k/m) = 4 rad/s   ---> w = 2pi*f = 2pi/T  

    T = 2pi/w = 2pi/4 = pi/2

    ....................

    se la vuoi sul modello x = A cos(wt+fi) .... devi cambiare il riferimento ponendo x = -(s -5/2) {in pratica metti l'origine dell'asse x in 5/2 , centro dell'oscillazione, e CAMBI VERSO}

    ... avrai:

    x = 1/2 * cos(4t) 

    allora se poni A = 1/2  e w= 4 ci sei!

    puoi pure NON cambiare verso ... hai

    x = -1/2 * cos(4t) = 1/2*cos(4t + pi)

    i passaggi (ovvi) li fai tu ... io ti metto la "solution"

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=+-1%2F2+*+co...

  • mg
    Lv 7
    7 mesi fa

    v(t) = 2 sin4t;

    v(t) è la derivata prima di s(t).

    s(t) = integrale di v(t) in dt =

    = 2 * [- cos(4t) ] / 4 = - 1/2 * cos(4t);

    t = 0 s, cos4t = 1

    s(0) = 2 m;

    - 1/2 * 1 + x = 2,

    x = 2 + 1/2 = 5/2;

    s(t) = - 1/2 * cos(4t) + 5/2

    l'accelerazione è la derivata di v(t);

    a = dv/dt = 2 * cos4t * 4 = 8 * cos(4t);

    omega = 4 rad/s;

    periodo T = 2 pgreco/omega = pgreco/2 s

    T = 3,14/2 = 1,57 s.

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