Marge ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 4 mesi fa

Un corpo puntiforme....?

Problema 3-3 

Un corpo puntiforme si muove di moto rettilineo con accelerazione a = k(v)^2, dove v è il modulo della sua velocità istantanea. Sapendo che dopo aver percorso la distanza d = IO m la velocità del corpo si è ridotta al 90% della sua velocità iniziale, determinare il valore della costante k. 

Qualcuno me lo spiega per favore?

Grazie di cuore

1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    4 mesi fa

    Osserviamo intanto che deve essere k < 0, altrimenti la velocità in un istante successivo non potrebbe essere minore di quella iniziale. Allora poniamo k = - |k|.

    Il moto è in una dimensione ( rettilineo) e quindi velocità e spazio percorso sono descritti da una sola funzione del tempo. Precisamente

    dv/dt = k v^2

    v(0) = vo

    dv/v^2 = k dt

    -1/v = kt + C

    -1/vo = k * 0 + C = C

    da cui     - 1/v = kt - 1/vo

    -1/v = - |k| t - 1/vo

    1/v = (|k| vo t + 1)/vo

    v(t) = vo/(1 + |k| vo t)

    s(t)  =  S v(t) dt =   S  vo dt / ( 1 + |k| vo t ) = 1/|k| S (|k| vo ) dt/( 1 + |k| vo t ) =

    = 1/|k| * ln ( 1 + |k| vo t ) + so

    e ponendo so = 0 ( scegliendo l'origine nella posizione di partenza )

    ricaviamo  

    1/|k| * ln ( 1 + |k| vo t* ) = Lo

    ln ( 1 + |k| vo t*) = Lo |k|

    1 + |k| vo t* = e^(|k| Lo)

    e infine, sostituendo nell'espressione della velocità,

    v(t*) = vo/e^(|k| Lo) = 9/10 vo

    e^(-|k| Lo) = 9/10

    k Lo = ln (9/10)

    k = ln(9/10) / Lo

    k = - 0.10536/Lo.

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