Ice00 ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Limite da risolvere?

lim x-> π ((sen(x^2/π)-(arctgx-π/4))(senx +e^x-e^π))/((e^x-arctgx)(x-π)^2)

1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    1 mese fa
    Risposta preferita

    Forma indeterminata del tipo 0/0

    Conviene riportarci alla forma y→0 dove possiamo usare i limiti notevoli.

    Cambio di variabile. Poniamo

    y=x-π da cui x>=y+π

    = lim(y→0) ((sin((y+π)²/π)-arctan(y+π) -π/4) * (sin(y+π) +e^π(e^y-1)) / 

    / [((e^(y+π)-arctan(y+π) * y^2] =

    Consideriamo separatamente i vari termini:

    • Numeratore

    (sin((y+π)²/π) → 0 per y→ 0

    -arctan(y+π) -π/4 → numero negativo  per y→ 0

    quindi il 1° fattore del denominatore tende a un numero negativo (ovviamente ≠0)

    (sen(y+π) +e^π(e^y-1))  → 0 con ordine di infinitesimo pari a 1. 

    Infatti, applicando i limiti notevoli

    (sen(y+π) +e^π(e^y-1))/y → e^π-1 per y→ 0

    • Denominatore

    Il fattore (e^(y+π)(-arctg(y+π) → numero negativo

    il fattore y^2 → 0 per y→ 0 con ordine di infinitesimo pari a 2.

    Limite dato

    Si ha un rapporto di infinitesimi 1°/ 2° per cui semplificando il limite si riduce nella forma k/0 e tale limite non esiste visto che i due limiti laterali sono +oo e -oo.

    in effetti

    lim(y → 0⁺) f(y) = -oo

    lim(y → 0⁻) f(y) = +oo

    Il limite non esiste.

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