Tony ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

dato il sistema x^2+y^2-2x<=0 e x^2+y^2-2y<=0 passando alle coordinate polari come si trovano i valori rho e theta che lo soddisfano? grazie?

2 risposte

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    Lv 5
    1 mese fa
    Risposta preferita

    Ricordando la sostituzione x=ρcosθ e y=ρcosθ, la x^2+y^2-2x<=0 diventa

    ρ^2-2ρcosθ<=0

    ma ricordando che ρ>=0, si può dividere per ρ ambo i membri (tranquillo, faremo attenzione a non perderci il caso ρ=0 dopo) ottenendo ρ-2cosθ<=0 ovvero

    ρ<=2cosθ

    Analogamente, dalla x^2+y^2-2y<=0  si ottiene ρ<=2senθ. Dobbiamo quindi considerare il sistema

    ρ<=2cosθ

    ρ<=2senθ

    e, sempre dal fatto che dev'essere ρ>=0, l'angolo θ dovrà essere tale che cosθ e senθ siano contemporaneamente non negativi. Ciò si verifica per θ∈[0,π/2]. ρ(θ) invece varierà nell'intervallo [0,2Min(cosθ,senθ)], ovvero nell'intervallo [0,2senθ] per θ appartenete a [0,π/4], mentre ρ(θ)∈[0,2cosθ] per θ∈[π/4,π/2].

  • 1 mese fa

    La trasformazione cartesiane polari è

    {x=ρ*cosθ

    {y=ρ*sinθ

    ricordiamo che x²+y² = ρ² 

    Il sistema una volta applicata la trasformazione diventa

    {ρ²-2ρ*cosθ ≤ 0 

    {ρ²-2ρ*sinθ ≤ 0

    ovvero

    {ρ(ρ-2cosθ) ≤ 0

    {ρ(ρ-2sinθ) ≤ 0

    Essendo ρ una distanza quindi maggiore o eguale a 0, il sistema equivale a 

    ρ = 0 oppure

    {ρ-2cosθ ≤ 0

    {ρ-2sinθ ≤ 0

    cioè

    {ρ/2 ≤ cosθ

    {ρ/2 ≤ sinθ

    Essendo ρ positivo necessariamente θ deve appartenere al 1° quadrante dove sia il coseno che il seno risultano positivi. 

    I valori ρ e θ che appartengono alle soluzioni devono soddisfare il sistema

    {ρ/2 ≤ cosθ

    {ρ/2 ≤ sinθ 

    Grafico 

    Insieme delle soluzioni

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=r+%E2%89%A4+...

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