Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Integrale strano?

∫ (e^(2x/3) +3e^(x/4))/(1+e^(x/6))dx

1 risposta

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    Lv 5
    1 mese fa
    Risposta preferita

    Non è così strano, è solo apparenza. È chiaro che ci servirà una sostituzione tipo e^x=t, ma se vogliamo toglierci di mezzo anche le frazioni ad esponente ci prendiamo il mcm tra 3,4 e 6, cioè 12, e facciamo la sostituzione t=e^(x/12). Differenziando: dt=(1/12)e^(x/12)dx, da cui dx=(12/t)dt. Sostituendo, trovi

    ∫ (e^(2x/3) +3e^(x/4))/(1+e^(x/6))dx= ∫ (t^8 +3t^3)/(1+t^2)(12/t)dt=

    12 ∫(t^7 +3t^2)/(1+t^2)dt

    Ora bisogna fare la divisione fra polinomi (t^7 +3t^2)/(1+t^2), che risulta

    (t^7 +3t^2)/(1+t^2)= t^5-t^3+t+3-(t+3)/(1+t^2)

    Quindi l'integrale è

    12 ∫(t^7 +3t^2)/(1+t^2)dt=

    12 ∫(t^5-t^3+t+3-(t+3)/(1+t^2))dt=

    12((1/6)t^6-(1/4)t^4+(1/2)t^2+3t-(1/2)ln|1+t^2|-3arctg(t))+C=

    2t^6-3t^4+6t^2+36t-6ln|1+t^2|-36arctg(t)+C=

    2e^(x/2)-3e^(x/3)+6e^(x/6)+36e^(x/12)-6ln|1+e^(x/6)|-36arctg(e^(x/12))+C

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