Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

qualcuno sa spiegarmi in modo dettagliato come si risolve questo esercizio di statistica, non so neanche da dove partire e come si ragiona?

Una fabbrica produce fusibili per televisori: si estraggono 15 pezzi da un lotto e si osserva che 5 di essi sono difettosi. Il numero aleatorio Θ rappresenta la frazione θ di pezzi difettosi nel lotto, e come distribuzione iniziale β(θ) si sceglie B10,2(θ). Utilizzando per la verosomiglianza l'approssimazione binomiale, determinare la distribuzione di probabilità finale β(θ|x) e dare una stima di θ|x. 

Aggiornamento:

purtroppo non hai capito la traccia e la sua richiesta, la soluzione non è quella che dici tu. B10,2(θ) dove 10 e 2 sono apici, purtroppo non riesco a scriverli sotto B e θ è tra parentesi, quindi non è B[10, 2θ] come scrivi tu. Comunque la soluzione dell'esercizio è la seguente, però vorrei capire come ci si arriva:

β(θ|x)=26!/(14! 11!) θ¹⁴ (1-θ)¹¹=B₁₅,₁₂(θ). Stime ragionevoli sono 14/25 (valore massimo) oppure 15/27 (previsione).

Aggiornamento 2:

@Anonimo ti ringrazio per aver cancellato tutta la risposta che hai dato, che seppur non corretta almeno c'era un tentativo di soluzione per poi sostituirla con una frase banale come quella che hai dato. 

Aggiornamento 3:

@Anonimo aspetto una tua risposta allora, ti ringrazio se mi risponderai in modo esaustivo

Aggiornamento 4:

@Anonimo mi dispiace ma non è chiaro, puoi essere più dettagliato per cortesia? Grazie

Aggiornamento 5:

@Anonimo ti ringrazio della risposta, ma se rispondi in questo modo scrivendo in questo modo le formule non riesco a seguire i tuoi ragionamenti. Ho specificato nella domanda di spiegarmi nel dettaglio l'esercizio, perchè questi tipi di argomenti mi sono molto poco chiari, non mi servono le formule scritte, ma mi serve la spiegazione nei minimi particolari dell'esercizio.

Aggiornamento 6:

Si ma io non ho capito da dove hai preso quelle formule e perchè alla fine per ottenere il risultato finale hai fatto quel rapporto. E poi non ho capito perchè hai approssimato in quel modo

Aggiornamento 7:

Purtroppo quel libro a cui fai riferimento non lo possiedo e non mi è possibile reperirlo

Aggiornamento 8:

ok grazie

Aggiornamento 9:

ti informo che il risultato che ti avevo scritto non era sbagliato, era proprio 26! e non 25! 

1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    1 mese fa

    Potrebbe essere che il 26 nella risposta sia in realtà 25 = 14 + 11 ?

    Dopo che mi hai confermato questo, penso di essere in grado di scrivere una soluzione seria

    All'inizio non avevo focalizzato che B(10,2) era una distribuzione Beta.

    Per approssimare la Beta     1/B(a,b) θ^(a-1) (1 - θ)^(b-1)

    con la Binomiale        C(n,k) θ^k ( 1 - θ )^(n-k)

    si devono uguagliare gli esponenti; così

    a - 1 = k

    b - 1 = n - k

    sommando

    n = a + b - 2

    e naturalmente    k = a - 1

    1/B(a,b) = C(a+b-2, a-1)

    Ora la Beta (10,2)   si trasforma   in C(10+2-2, 10-1) θ^9 ( 1 - θ)^1 =

    = C(10,9) θ^9 * ( 1 - θ )

    mentre la sequenza dei dati forniti dall'esperimento corrisponde a

    C(15,5) θ^5 * ( 1 - θ )^10      ( cinque difettosi e 10 no )

    In base a questo, la distribuzione finale, che verrà utilizzata al posto della verosimiglianza, è determinata da

    C(15,5) θ^5 * ( 1 - θ )^10 * C(10,9) θ^9 * ( 1 - θ )^1

    -------------------------------------------------------------------------------------  =

    S_[0,1] C(15,5) θ^5 * ( 1 - θ )^10 * C(10,9) θ^9 * ( 1 - θ )^1  dθ

    = [ θ^14 * (1 -  θ)^11] / S_[0,1] θ^14 * (1 -  θ)^11 dθ =

    = θ^14 * (1 -  θ)^11 / B(14+1,11 + 1) =

    = 1/B(15,12) θ^14 * (1 -  θ)^11 =

    = C(15+12-2,15-1) θ^14 * (1 -  θ)^11 =

    = C(25,14) θ^14 * (1 -  θ)^11

    e siamo arrivati.

    Per la stima di θ

    si può massimizzare la distribuzione finale : ottieni θ* = k/n = 14/25 = 0.56

    oppure

    si prende la media di B(15,12)(θ)  che è a/(a+b) = 15/(15 + 12) = 15/27 = 5/9

    e anch'esso prossimo a 0.56.

    Aggiornamento

    Se sintetizziamo il ragionamento ( rivediamo in modo panoramico i punti

    essenziali per non perderci nei dettagli )

    abbiamo approssimato la distribuzione iniziale ( nota a priori )

    che è una Beta con parametri specificati con una opportuna binomiale

    abbiamo poi usato la relazione ( densità condizionata ) che esprime la distribuzione

    finale in termini di quella iniziale attraverso l'uso dei dati acquisiti per via

    infine trattato la distribuzione trovata come funzione di verosimiglianza ai fini

    della stima del parametro incognito.

    Per la giustificazione teorica di questo procedimento non ho un riferimento online,

    ho invece seguito la linea indicata nel testo "Introduzione alla statistica" di Mood,

    Graybill, Boes, ed. Mac Graw Hill, capitolo 7, pg. 344 - 45.

    Aggiornamento 2

    Posso darti il link al libro in inglese

    Introduction to the theory of statistics by MOOD.pdf

    e la formula utilizzata si trova a pg. 354 di 577.

    Se riesco metterò la foto della pagina del testo in italiano.

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.