Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 4 sett fa

Sia C il cono circolare retto avente vertice nell'origine e altezza 3?

che si proietta nel piano xy nel cerchio D = { x^2 + y^2 <= 4 } e sia f:R^3->R una funzione continua in C. Scrivere una formula per il calcolo di

 ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz (Integrale triplo esteso a C). 

Il testo da come soluzione

 ∫∫ { ∫f(x,y,z)dz } dxdy

dove l'intergrale in dz è compreso tra gli estremi (3/2)*(x^2+y^2)^(1/2) e 3, mentre l'integrale doppio in dxdy è calcolato su D.Come si ottiere questa formula, in particolare gli estremi di integrazione dell'integrale in dz ? Grazie!

1 risposta

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  • Anonimo
    4 sett fa
    Risposta preferita

    Il raggio di base è 2 e l'altezza è 3, per cui i punti del cono sono descritti dalle limitazioni

    0 <= z <= 3

    x^2 + y^2 <= r^2(z)

    in cui per similitudine di triangoli rettangoli

    r(z) / z = 2/3

    r(z) = 2/3 z

    e 2/3 z >= sqrt( x^2 + y^2)

    significa   z >= 3/2 sqrt (x^2 + y^2)

    con 0 <= z <= 3.

    Abbiamo quindi la descrizione di C data da

    (x,y) in D

    3/2 sqrt(x^2 + y^2) <= z <= 3

    e allora   SSS_[C] f(x,y,z) dx dy dz =   

    = SS_[D] (S_[3/2 sqrt(x^2+y^2), 3] f(x,y,z) dz) dxdy 

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