Paola ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 4 sett fa

Come si risolve questo integrale?

Ciao a tutti, potreste scrivermi e spiegarmi i passaggi per risolvere questo integrale, per favore? Grazie a chi mi aiuterà.

               x

∫     -------------------

       x^2 - 9x + 8

2 risposte

Classificazione
  • Anonimo
    4 sett fa
    Risposta preferita

    E' una funzione razionale e il denominatore ha radici reali e distinte

    x^2 - 9x + 8 = x^2 - 8x - x + 8 = x(x - 8) - (x - 8) = (x - 8)(x - 1)

    Decomponiamo in fratti semplici

    A/(x - 1) + B/(x - 8) = x/[(x-8)(x - 1)]

    A(x - 8) + B(x - 1) = x per ogni x

    Ax - 8A + Bx - B = x per ogni x

    per il principio di identità dei polinomi

    A + B = 1

    -8A - B = 0

    sommando

    -7A = 1

    A = -1/7

    B = -8A = 8/7

    Ci riconduciamo allora a

    S ( 8/7 * 1/(x - 8) - 1/7 * 1/(x - 1) ) dx =

    = 8/7 ln |x - 8| - 1/7 ln | x - 1 | + C

  • exProf
    Lv 7
    4 sett fa

    PRIMO METODO, un solo passaggio: consultare Tavole esaurienti.

    Alla quarta riga della seconda parte di

    http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integral...

    c'è lo schema

    * ∫ x*dx/(a*x^2 + b*x + c) = ln(|a*x^2 + b*x + c|)/(2*a) - (b/(2*a))*∫ dx/(a*x^2 + b*x + c)

    che rimanda a una delle tre righe precedenti secondo il segno di

    * 4*a*c - b^2

    che, nel tuo caso, è

    * 4*1*8 - (- 9)^2 = - 49 < 0

    e quindi rimanda alla terza riga.

    ------------------------------

    SECONDO METODO, tutti i passaggi occorrenti per comprendere il processo.

    * f(x) = x/(x^2 - 9*x + 8) = 8/(7*(x - 8)) - 1/(7*(x - 1))

    * F(x) = ∫ f(x)*dx = ∫ x*dx/(x^2 - 9*x + 8) =

    = (8/7)*∫ dx/(x - 8) - (1/7)*∫ dx/(x - 1) =

    = (8/7)*ln(|x - 8|) - (1/7)*ln(|x - 1|) + c

    Vedi al link

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%ABx*dx...

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