Come si risolve questo integrale?

Question

Ciao a tutti, potreste scrivermi e spiegarmi i passaggi per risolvere questo integrale, per favore? Grazie a chi mi aiuterà.

               x

∫     -------------------

       x^2 - 9x + 8

Answer 1

Risposta preferita

E' una funzione razionale e il denominatore ha radici reali e distinte

x^2 - 9x + 8 = x^2 - 8x - x + 8 = x(x - 8) - (x - 8) = (x - 8)(x - 1)

Decomponiamo in fratti semplici

A/(x - 1) + B/(x - 8) = x/[(x-8)(x - 1)]

A(x - 8) + B(x - 1) = x per ogni x

Ax - 8A + Bx - B = x per ogni x

per il principio di identità dei polinomi

A + B = 1

-8A - B = 0

sommando

-7A = 1

A = -1/7

B = -8A = 8/7

Ci riconduciamo allora a

S ( 8/7 * 1/(x - 8) - 1/7 * 1/(x - 1) ) dx =

= 8/7 ln |x - 8| - 1/7 ln | x - 1 | + C

Answer 2

PRIMO METODO, un solo passaggio: consultare Tavole esaurienti.

Alla quarta riga della seconda parte di

http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integral...

c'è lo schema

* ∫ x*dx/(a*x^2 + b*x + c) = ln(|a*x^2 + b*x + c|)/(2*a) - (b/(2*a))*∫ dx/(a*x^2 + b*x + c)

che rimanda a una delle tre righe precedenti secondo il segno di

* 4*a*c - b^2

che, nel tuo caso, è

* 4*1*8 - (- 9)^2 = - 49 < 0

e quindi rimanda alla terza riga.

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SECONDO METODO, tutti i passaggi occorrenti per comprendere il processo.

* f(x) = x/(x^2 - 9*x + 8) = 8/(7*(x - 8)) - 1/(7*(x - 1))

* F(x) = ∫ f(x)*dx = ∫ x*dx/(x^2 - 9*x + 8) =

= (8/7)*∫ dx/(x - 8) - (1/7)*∫ dx/(x - 1) =

= (8/7)*ln(|x - 8|) - (1/7)*ln(|x - 1|) + c

Vedi al link

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%ABx*dx...