O ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 4 sett fa

usare la formula di Green-Gauss per calcolare?

∫ xy dx - (y+x^2) dy

dove γ è il bordo del triangolo di vertici A(0,0),B(0,2),C(2,0)

1 risposta

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  • Anonimo
    4 sett fa
    Risposta preferita

    Essendo f(x,y) = xy   e g(x,y) = -x^2 - y

    dg/dx - df/dy = - 2x - x = - 3x

    e quello che dobbiamo calcolare è  SS_[T]  (- 3x) dx dy

    Se disegni il triangolo vedi che puoi rappresentarlo come

    { 0 <= x <= 2

    { 0 <= y <= 2 - x

    per cui ne viene

    SS_[T] (-3x) dx dy = -3 S_[0,2] x  (S_[0, 2 - x]  dy ) dx =

    = - 3 S_[0,2] x(2 - x) dx = - 3 S_[0,2] (2x - x^2) dx = -3 [ x^2 - x^3/3 ]_[0,2] =

    = 3 [ x^3/3 - x^2 ]_[0,2] = [ x^3 - 3x^2 ]_[0,2] = 8 - 3*4 = -4.

    So che si trova perchè coincide con quello che si otterrebbe calcolando direttamente l'integrale di linea.

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