Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 2 mesi fa

CIAO, mi aiutereste a risolvere questi due problemi sulla retta, Grazie!!!!!!?

- Dopo aver studiato la natura del fascio di equazione kx+2ky+1-2k=0, determina la retta del fascio su cui gli assi cartesiani individuano un segmento lungo 7/2radice5

-                    Tra le rette del fascio di equazione y=(1-k)x+3k-1, determina quelle che individuano con gli assi cartesiani un triangolo rettangolo isoscele

1 risposta

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  • Anonimo
    2 mesi fa
    Risposta preferita

    -) kx+2ky+1-2k=5/20

    Si devono considerare 2 casi:

    i) k = 0 si ha 1 = 0 Impossibile.

    ii) k ≠ 0 possiamo dividere per k quindi esplicitando

    y = -x/2 -1/(2k) +1 

    Osserviamo che il coefficiente angolare m = -1/2 

    è un valore eguale per tutte le rette quindi si tratta di un fascio improprio.

    Determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani così da imporre la lunghezza del segmento pari a 7√5/2.

    Asse delle y.  Tale asse ha equazione x=0 per cui l'intercetta vale y(0) = 1-1/(2k). 

    Il punto A di intersezione ha coordinate A(0,1-1/(2k))

    Asse delle x.  Tale asse ha equazione y=0. Il punto di intersezione vale

    0 = -x/2 -1/(2k) +1 

    x/2 = 1-1/(2k)

    x = 2 - 1/k

    Il punto B di intersezione ha coordinate B(2-1/k,0)

    La lunghezza del segmento si ottiene con Pitagora calcolando la distanza dab tra A e B 

    dab = √((xA-xB)²+(yA-yB)²)

    quadrando ambo i membri

    49*5/4 = (0-xB)²+(yA-0)² 

    49*5/4 = (2 -1/k)²+(1-1/(2k))²

    due soluzioni k = -1/5 V k = 1/9

    Notiamo che avendo quadrato potremmo aver introdotto una soluzione spuria, non ci resta che verificare se sono soluzioni.

    a) k = -1/5 

    l'equazione dell fascio diventa x+2y-7 = 0  

    A(0,7/2)B(7,0)

    La lunghezza di AB è  dab = 7√5/2

    Questa è una soluzione.

    b) k = 1/9

    l'equazione dell fascio diventa x+2y+7 = 0

    A(0,-7/2)

    B(-7,0)

    La lunghezza di AB è dab = 7√5/2

    Questa è un'altra soluzione.

    La domanda 

    determina la retta del fascio....

    lascia supporre di aver a che fare con una soluzione.

    Disegniamo il grafico per convincersi che ve ne sono due.

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT+y%3Dx%2...

    Sono due senza ombra di dubbio.

     -) y=(1-k)x+3k-1

    Notiamo che il coefficiente angolare m dipende dal valore di k e quindi varia questo significa che si ha a che fare con un fascio proprio.

    Determiniamo le coordinate del centro C, 

    Scegliamo due rette a caso e determiniamo il punto di intersezione quello è il centro C del fascio.

    due generiche rette del fascio

    -) per k=1 avremo y = 2 (retta parallela all'asse delle x)

    -) per k=0 avremo y = x-1

    Il centro C è il punto di intersezione delle due rette, che si ottiene risolvendo il sistema

    {y=2

    {y=x-1

    x-1=2 cioè x=3 

    Le coordinate del centro sono C(3,2)

    Con C abbiamo terminato lo studio della natura del fascio.

    Determiniamo le coordinate dei punti A e B intersezioni delle retta del fascio con gli assi coordinati.

    Asse delle y. Tale asse ha equazione x=0 per cui l'intercetta vale y(0) = 3k-1

    Il punto A di intersezione ha coordinate A(0,3k-1)

    Asse delle x. Tale asse ha equazione y=0. Il punto di intersezione vale

    0 = (1-k)x+3k-1

    x = (1-3k)/(1-k) 

    Il punto B di intersezione ha coordinate B((1-3k)/(1-k),0)

    Il triangolo rettangolo deve essere isoscele, cioè le due intercette con gli assi devono essere eguali

    3k-1 = (1-3k)/(1-k)

    (1-3k)/(1-k) +(1-3k) = 0

    Fattorizziamo (1-3k)

    (1-3k)*(1/(1-k) + 1) = 0

    (1-3k)*(1+1-k)/(1-k) = 0

    ora possiamo eliminare il denominatore

    (1-3k)*(2-k) = 0

    Per il principio dell'annullamento del prodotto vi sono due soluzioni.

    i) 1-3k = 0 cioè k = 1/3

    ii) 2-k = 0 cioè k = 2

    Le rette sono:

    a) per k=1/3 si ha

    y=2x/3

    Passa per l'origine. Il triangolo è isoscele ma è degenere visto che si riduce ad un punto.

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT+y%3D2x%...

    b) per k=2 si ha 

    y=-x+5 

    eccone il grafico

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT+y%3D-x%...

     

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