Ten ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Perché ricavare la funzione DOPO aver impostato il suo gradiente PRIMA (il g. della funzione) é un errore?

La definizione di gradiente impone che il gradiente bisogna calcolarlo perché prima bisogna aver a disposizione una funzione.

Io cerco di far questo: impostare prima un gradiente senza aver a disposizione la funzione perché questa la voglio ricavarla dopo aver impostato il gradiente della funzione.

Perché è un errore? Che tipo di sbaglio è?

2 risposte

Classificazione
  • Name
    Lv 5
    1 mese fa
    Risposta preferita

    Ma infatti non è un errore cercare una funzione partendo dal gradiente, però bisogna saperlo fare.

    Per fare un'analogia con l'analisi in ℝ, cercare in ℝⁿ una funzione partendo dal gradiente è come in ℝ cercare una funzione partendo dalla derivata, cioè cercare una primitiva.

    In ℝⁿ però ci sono due grosse differenze rispetto che in ℝ:

    1) mentre in ℝ tutte le funzioni continue sono integrabili e hanno quindi primitiva, non tutti i campi di ℝⁿ, anche se regolari, possono essere il gradiente di una funzione. Per esempio, in ℝ² non esiste nessuna funzione il cui gradiente sia (1,x). Infatti, integrando x rispetto y otterresti che la funzione vale xy+g(x), e derivando questa rispetto x otterresti y+g'(x). Ma la derivata parziale rispetto x dovrebbe valere 1, quindi y+g'(x)=1 ASSURDO perché g'(x) deve dipendere solo da x. Ancora, se 1 fosse la derivata parziale rispetto x di una funzione f(x,y), allora la derivata seconda mista di f sarebbe nulla. Ma poiché l'ordine di derivazione è ininfluente, lo stesso risultato si dovrebbe trovare derivando rispetto x la derivata parziale di f rispetto y, cioè x. Ma questa derivata vale 1 anziché 0, ASSURDO. Da questo esempio risulta chiaro che una condizione necessaria perché un campo sia il gradiente di una funzione è che la derivata parziale della j-esima componente del campo rispetto alla i-esima coordinata coincida con la derivata parziale della i-esima componente del campo rispetto alla j-esima coordinata. Questa condizione viene chiamata "chiusura".

    2) Anche se il campo è regolare e vale la condizione di chiusura, possono esserci ancora degli ostacoli legati al dominio. In ℝ, se una funzione ha dei punti di singolarità, è sufficiente considerare un intervallo che non ne contenga per cercare una primitiva. In ℝⁿ invece non è sufficiente escludere le singolarità, perché anche solo girarci attorno "da lontano" può creare dei problemi. Esempio classico: considera in ℝ² il campo

    (y/(x²+y²),-x/(x²+y²))

    definito su un dominio che sia una corona circolare attorno all'origine. Il campo ha una singolarità nell'origine, ma non appartiene né al dominio, né alla sua chiusura. Insomma, il dominio è "lontano" dalla singolarità, ma ci gira attorno. La derivata parziale rispetto y di y/(x²+y²) vale (x²-y²)/(x²+y²), lo stesso si ottiene calcolando la derivata parziale rispetto x di -x/(x²+y²). Quindi vale la condizione di chiusura. Ragionando come sopra integrando y/(x²+y²) rispetto x, derivando rispetto y ciò che si ottiene e confrontando con -x/(x²+y²), si ricava effettivamente una formula: una primitiva del gradiente sembrerebbe essere la funzione arctan(x/y). Il guaio è che questa funzione non è continua e non si riesce a estenderla per continuità a tutta la corona circolare, ma solo ad un suo settore. Ma non essendo continua dappertutto, la funzione non può essere differenziabile dappertutto ASSURDO perché noi cerchiamo una funzione con gradiente (fissato) su tutta la corona circolare.

    -------------

    Al di là delle ostruzioni che ti ho spiegato, le cose vanno bene: il Lemma di Poincaré assicura che un campo con componenti C¹ per cui valga la condizione di chiusura e definito su un dominio semplicemente connesso (="senza buchi") è il gradiente di una funzione, unica a meno di costanti additive.

    -------------

    N.B.: per motivi di chiarezza ho scritto la mia risposta parlando sempre di campi vettoriali che siano il gradiente di una funzione. In realtà, canonicamente questi argomenti sono affrontati parlando non di campi vettoriali ma di forme differenziali: si parla di forme chiuse se vale la condizione del punto 1) e forme esatte se ne esiste una primitiva, cioè una funzione differenziabile su tutto il dominio e il cui gradiente abbia esattamente le stesse componenti della forma differenziale. Non ti spaventare quindi se, aprendo i link alle fonti, ti ritrovassi spaesato.

  • Anonimo
    1 mese fa

    Perché è un errore? Che tipo di sbaglio è?

    E' naturale per i matematici ogni qual volta si introduce un'operazione, una funzione o come in questo caso un operatore chiederci qual'è l'operazione, la funzione o l'operatore inverso. 

    Quindi nessun errore di metodo, anzi...

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.