Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeFisica · 2 mesi fa

Problema di fisica su moto armonico di un sistema con due masse e carrucola?

Salve a tutti, sono in difficoltà con l'esercizio di fisica nell'immagine :

Il sistema è in equilibrio statico con la molla estesa di una certa lunghezza x rispetto alla posizione di equilibrio; nel piano non c'è attrito.

Ad un certo punto la massa m2 viene spostata verso il basso, a partire dalla posizione di equilibrio, di una lunghezza h = 3 cm e lasciata andare da ferma; supponendo che non ci sia attrito tra filo e carrucola e che questa possa ruotare attorno al suo centro senza attrito, verificare che il moto del sistema è armonico e se ne calcoli il periodo T.

I dati sono:

m1 = 4 kg

m2 = 6kg

M = 0,2 kg

R = 0,2 m

k = 300 N/m

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1 risposta

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  • mg
    Lv 7
    2 mesi fa
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    Ec carrucola = 1/2 I ω^2 = 1/2 * 1/2 M R^2 * v^2/R^2; 

    = 1/4 M * v^2;

    L'energia cinetica delle due masse m1 ed m2 che si muovono alla stessa velocità:

    Ec masse = 1/2 (m1+ m2) * v^2.

    L'energia potenziale elastica U:

    U = 1/2 k x^2.

    Ep = energia potenziale gravitazionale di m2 che scende di x:

    Ep = - m2 g x;

    Energia totale Et:

    Et = Ec + Ec masse + U + Ep =1/4 M * v^2 + 1/2 (m1+ m2) v^2  + 1/2 k x^2 - m g x = costante.

    1/2 (M/2 + m1 + m2) x'(t)^2 + 1/2 k x(t)^2 - m g x(t) = costante.

    Derivando rispetto al tempo avremo:

    2 * 1/2 * (M/2 + m1 + m2) x'(t) * x''(t) + k x(t) x'(t) - m g x'(t) = 0;

    La derivata della costante è 0;

    semplificando x'(t) si ottiene:

    (M/2 + m1 + m2) x''(t) + k x(t) = m * g;

    x''(t) + [k / (M/2 + m1 + m2)] x(t) = m * g/(M/2 + m1 + m2).

    a = - ω ^2 * x; accelerazione nel moto armonico.

    x''(t) + [k / (M/2 + m1 + m2)] x(t) = 0

    è equazione caratteristica del moto armonico, 

    ω = radicequadrata[k / (M/2 + m1 + m2)] = radicequadrata[300/(10,1)] = 5,45 rad/s.

    T = 2 π / ω = 2 * 3,14 /5,45 = 1,15 s.

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