Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 3 sett fa

equazione con numeri complessi?

salve qualcuno può aiutarmi con questa equazione? non so proprio come farla!

|z^3-1-i|=|z*^3+1-i|

dove z* intende il coniugato di z

Aggiornamento:

tra le seguenti risposte quindi qual è quella giusta? 

R1: z = 0; Im(z)^3 = Re(z)^3

R2: z = 0; Argz = 3pi/4 + 2kpi ; Argz =7pi/4+2kpi ; k = 0; 1; 2 

R3: z = 0; Argz = pi/4+(2/3)kpi; Argz =7pi/12+(2/3)kpi; k = 0; 1; 2

1 risposta

Classificazione
  • Name
    Lv 5
    3 sett fa
    Risposta preferita

    L'insieme delle soluzioni è costituito dagli z per cui Re(z)=Im(z) oppure (-2+√3)Re(z)=Im(z) oppure (-2-√3)Re(z)=Im(z).

    Posto x=Re(z), y=Im(z) allora

    z³=

    (x+iy)³=

    x³+3ix²y-3xy²-iy³=

    (x³-3xy²)+i(3x²y-y³)

    e quindi ovviamente

    (z*)³=

    (z³)*=

    (x³-3xy²)-i(3x²y-y³) .

    Ora 

    z³-1-i=

    (x³-3xy²-1)+i(3x²y-y³-1)

    e

    (z*)³+1-i=

    (x³-3xy²+1)+i(-3x²y+y³-1) .

    Consideriamo direttamente l'equazione |z³-1-i|²=|(z*)³+1-i|² :

    (x³-3xy²-1)²+(3x²y-y³-1)² = (x³-3xy²+1)²+(-3x²y+y³-1)² .

    Tutti i termini al quadrato e alcuni doppi prodotti sono uguali al primo e al secondo membro, quindi nel prossimo passaggio in cui sviluppo i quadrati delle tonde salterò direttamente di scrivere questi termini:

    -2x³+6xy²-6x²y+2y³ = 2x³-6xy²+6x²y-2y³ .

    Portando tutto allo stesso membro e dividendo per 4:

    x³-3xy²+3x²y-y³=0

    in cui si vede subito che una soluzione ovvia è x=y. Questo ci suggerisce la seguente scomposizione:

    x³-3xy²+3x²y-y³=0

    x³-y³+3x²y-3xy²=0

    (x-y)(x²+y²+xy)+3xy(x-y)=0

    (x-y)(x²+y²+4xy)=0

    Il fattore x²+y²+4xy si scompone con la formula per risolvere le equazioni di secondo grado:

    x²+y²+4xy=0

    y=(-2±√3)x .

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