Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Domanda sui limiti delle successioni?

Salve, volevo chiedervi ma quando il limite tendente ad infinito di una successione è un numero irrazionale, la successione com'è? Divergente o convergente? Un numero irrazionale non è finito, quindi non posso dire che la successione è convergente, giusto? 

Ad esempio la successione di Fibonacci, il cui limite tendente ad infinito è la costante di Fidia, si può considerare una funzione convergente? 

Grazie mille in anticipo

Aggiornamento:

quindi è a tutti gli effetti una successione divergente?

2 risposte

Classificazione
  • 1 mese fa
    Risposta preferita

    Stiamo parlando di successioni di numeri reali; quindi se

    lim(n→+oo) an = L con L∈ℝ\ℚ

    La successione è convergente.

    Un numero irrazionale non è finito, quindi non posso dire che la successione è convergente, giusto? 

    Non in ℝ. Il numero reale è definiti come l'elemento separatore di una sezione di ℚ.

    Se ci fai caso la definizione di Dedekind tramite sezioni è imparentata con il concetto di limite di numeri razionali. 

    Ricordo che esistono altre definizioni, del tutto equivalenti a quella di Dedekind che si basano sull'esistenza di successioni razionali convergenti a ogni numero irrazionale.

    "Ad esempio la successione di Fibonacci, il cui limite tendente ad infinito è la costante di Fidia, si può considerare una funzione convergente?"

    Certamente, è convergente in ℝ ma non in ℚ.

    Per essere chiari. 

    Data una successione è sempre possibile classificarla come successione di Cauchy, se gode delle proprietà enunciate nella definizione.

    vedi:

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/...

    In ℚ.

    alcune successioni di Cauchy sono convergenti, ma ve ne sono alcune che non convergono affatto.

    esempio

    an = (1+1/n)ⁿ 

    è una successione di Cauchy di numeri razionali ma non ammette limite in  ℚ

    lim(n→+oo) (1+1/n)ⁿ non esiste.

    in ℝ.

    è stato definito (Cantor, Heine) in modo tale che tutte le successioni di Cauchy siano convergenti, quindi

    lim(n→+oo) (1+1/n)ⁿ = e

    ovviamente "e" è un numero irrazionale.

    Proprio per questa proprietà si dice che  l'insieme ℝ sia completo.

     

  • exProf
    Lv 7
    1 mese fa

    Te l'ha detto la mamma che "Un numero irrazionale non è finito", o è una minchiata tutta tua personale?

    Quella che non è finita è la sua rappresentazione come stringa, mica il valore.

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