bruna ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

derivatee?

y= ln( x+1/x)^2.  Il risultato è -2/x^2+x. Perchè non si fa la composta?

3 risposte

Classificazione
  • exProf
    Lv 7
    1 mese fa

    RECORDWOMAN BRUNA!

    Accade di rado di vedere tante minchiate in un testo così breve (84 battute per 17 parole); cerco di chiarirle una alla volta, da sotto in su.

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    1) "Perchè non si fa la composta?" PERCHE' NO: SI FA, SI FA!

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    2) "Il risultato è -2/x^2+x" FALSO!

    * ∫(-2/x^2+x)dx = (x^3 + 4)/(2*x) + c

    senza la minima somiglianza con la funzione derivanda

    * y= ln( x+1/x)^2

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%28-...

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    3) "derivatee? y= ln( x+1/x)^2"

    * "y= ln( x+1/x)^2" ≡

    ≡ y = ln^2((x^2 + 1)/x)

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    LA COMPOSTA

    Con

    * u = ln((x^2 + 1)/x)

    si ha

    * y = u^2

    * dy/dx = (dy/du)*(du/dx) = (2*u)*(du/dx) = (2*ln((x^2 + 1)/x))*(du/dx)

    ---------------

    Con

    * v = f(x)/g(x) = (x^2 + 1)/x

    si ha

    * u = ln(v)

    * du/dx = (du/dv)*(dv/dx) = (1/v)*(dv/dx) = (x/(x^2 + 1))*(dv/dx)

    * dy/dx = (2*ln((x^2 + 1)/x))*(du/dx) = (2*ln((x^2 + 1)/x))*(x/(x^2 + 1))*(dv/dx)

    ---------------

    Con

    * d/dx f(x) = d/dx (x^2 + 1) = 2*x

    * d/dx g(x) = d/dx x = 1

    si ha

    * dv/dx = d/dx f(x)/g(x) = f'/g - f*g'/g^2 =

    = 2*x/x - (x^2 + 1)*1/x^2 = (x^2 - 1)/x^2

    e infine

    * dy/dx = (2*ln((x^2 + 1)/x))*(x/(x^2 + 1))*(dv/dx) =

    = (2*ln((x^2 + 1)/x))*(x/(x^2 + 1))*(x^2 - 1)/x^2 =

    = (2*(x^2 - 1)*ln((x^2 + 1)/x))/(x*(x^2 + 1))

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    CONTROPROVA al link

    http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+ln%5E2...

  • Anonimo
    1 mese fa

    Ho interrogato Wolfram e, sorpresa il risultato è giusto.

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+l...

    Riscriviamola in modo da semplificarci al vita

    y(x) = 2*ln [( x+1)/x] = 2*[ln(x+1) - lnx]

    Passiamo alla derivata

    y'(x) = 2*[1/(x+1) - 1/x]

    Riscriviamola per farla coincidere con la risposta ufficiale

    y'(x) = 2*[(x-x-1)/(x²+x) = -2/(x²+x)

    Si può fare la "composta" ma ci si complica la vita. 

    Può essere intesa come verifica. 

    I matematici apprezzano le giuste soluzioni ottenute con il metodo più semplice.

  • Sergio
    Lv 6
    1 mese fa

    ...e che mink è  LA COMPOSTA ?

    1. derivi il log   1/ ( x+1/x)^2.

    2. Poi derivi  ( x+1/x)^2. .. ottenendo 2( x+1/x)

    3. Infine derivi  x+1/x  ottenendo 1 - 1/x^2

    4. Moltiplichi questi 3 risultati parziali

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative++...

    5. Il tuo risultato è  errato

    6. Devi usare le parentesi  perché non si capisce se è

       ln [( x+1/x)^2]  oppure ...  [ ln( x+1/x) ]^2

     

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