Yuuki ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

PROBLEMA DI TRIGONOMETRIA?

Un triangolo rettangolo ABC,di ipotenusa BC, è circoscritto a una semicirconferenza di raggio r il cui diametro appartiene a BC. Determina l'angolo B in modo che sia verificata la relazione AB+AC=6+4√3/3 r. Grazie in anticipo

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1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    1 mese fa

    Penso che la frase matematicamente scorretta

    "una semicirconferenza di raggio r il cui diametro appartiene a BC"

    voglia significare

    "una semicirconferenza di raggio r il cui diametro giace su BC".

    Detto questo, posto come indicato AB^C = x, detto O il centro della

    semicirconferenza, abbiamo le relazioni

    BO = r/sen x, CO = r/cos x, quindi

    BC = BO + CO = (r/sen x) + (r/cos x).

    D'altra parte

    AB = BC cos x, AC = BC sen x, così

    la relazione AB + BC = r (6+4√3)/3 diviene

    [(r/sen x) + (r/cos x)] (cos x + sen x) = r (6+4√3)/3;

    svolgendo i calcoli e semplificando si avrà

    (cos x/sen x) + 2 + (sen x/cos x) = (6+4√3)/3,

    (1/tan x) + tan x = 4√3 /3,

    3 tan^2 x - 4√3 tan x + 3 = 0.

    Avendo per questa equazione di secondo grado in tan x

    Δ/4 = 12 - 9 = 3, si avranno le soluzioni

    tan x = √3/3, √3

    quindi x = π/6, π/3.

    Entrambe la soluzioni sono accettabili in quanto le limitazioni geometriche

    dell'incognita sono 0 < x < π/2.

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