Aiuto non so come si facciano questi limiti 😕?

Question

Il professore ha lasciato da fare dei limiti per domani, sono da risolvere con i limiti notevoli. Io non li ho capiti e ogni volta mi vengono risultati diversi e dal ieri mattina che provo a farli ma niente, qualcuno potrebbe aiutarmi per favore. I limiti sono il numero 381 e il 383. Grazie in anticipo a chi mi volesse aiutare 

Aggiornamento:

Ho persino provato ad aiutarmi con qualche app ma queste mi mostrano sempre il teorema di Hospital mentre invece io li devo ricondurre a limiti notevoli 

Answer 1

Risposta preferita

381 )

lim_x->0   ( 1 - sqrt (cos (x) ) )/ x  è una forma indeterminata del tipo 0/0

Moltiplicando e dividendo per  (1 + sqrt( cos(x)) ) risulta

lim_x->0   ( 1 - cos x )/[ x * ( 1 + sqrt( cos x ) ) ] =

= lim_x->0  ( 1 - cos x )/x^2 * x * lim_x->0  1/( 1 + sqrt( cos x ) ) =

= 1/2 * 0 * 1/2 = 0

Si è utilizzato il limite notevole   lim_x->0  (1 - cos x )/x^2 = 1/2

383 )

lim_x->0  2x sin x / [ cos^2(x) - cos x ]  

è ancora una forma indeterminata di tipo 0/0

lim_x->0    2x * sin(x)/ [ cos x (cos x - 1 ) ] =

= 2/1 * lim_x->0   x sin (x)/ (cos x - 1 ) =

= - 2 lim_x->0  x sin(x) / ( 1 - cos x ) =

= -2 lim_x->0   ( x sin(x) )/x^2 : ( 1 - cos(x) )/x^2 ) =

= - 2 lim_x->0  sin(x)/x : lim_x->0  ( 1 - cos(x))/x^2 =

= - 2 * 1 : 1/2 =

= -2*2 = -4.

Abbiamo usato    lim_x->0  sin(x)/x = 1 e lim_x->0  (1 - cos(x))/x^2 = 1/2.

Answer 2