HO UN QUESITO MATEMATICO DA RISOLVERE SENZA CALCOLARE TUTTI I NUMERI ?
GIOCHIAMO A ZINGO?
In Syldavia esiste un gioco d’azzardo molto popolare
chiamato “ZINGO”. Per giocare, si può puntare un
massimo di 20 corone syldave: si divide la puntata in due
numeri interi di corone che si scrivono sulla carta da
gioco. Se la carta giocata risulta vincente, il fortunato
giocatore riceve una somma pari al prodotto del quadrato
del primo numero per il cubo del secondo (ricorda che il
quadrato di 5, ad esempio, è 5×5 e che il suo cubo è
5×5×5).
Quale somma massima possiamo ricevere?
Se volessi risolverla senza le derivate è possibile?
@exProf?
1 risposta
- exProfLv 72 mesi faRisposta preferita
VALE PER IL FUTURO: tu devi andare a capo solo a fine paragrafo, non a fine riga. Y!A bada a formattare la riga.
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Il modello matematico del problema è costituito come segue.
VINCOLI tratti da "... massimo di 20 corone syldave: si divide la puntata in due numeri interi ..."
* x è intero positivo
* y è intero positivo
* x + y <= 20
FUNZIONE OBIETTIVO (vincita da massimizzare)
* z = v(x, y) = (x^2)*(y^3) = y*(x*y)^2
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Per massimizzare la vincita si deve massimizzare la puntata; il terzo vincolo dev'essere
* x + y = 20
da cui
* x = 20 - y
* z = f(y) = ((20 - y)^2)*y^3 = ((y - 40)*y + 400)*y^3
che, per 0 < y < 20, ha l'unico massimo che azzera in quell'intervallo la derivata prima
* z' = f'(y) = 5*(y - 20)*(y - 12)*y^2
cioè
* y = 12
* x = 8
* z = (8^2)*(12^3) = 110592 SYKR
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QUESITO MATEMATICO DA RISOLVERE SENZA CALCOLARE TUTTI I NUMERI
Se non dici che classe frequenti (e di che tipo di scuola: al terzo Abacus sai le derivate, ma il classico lo finisci senz'averle nominate) la risposta più ragionevole è quella che il sindaco di Genova diede a Napoleone "Tutti no, ma bona parte sì!".
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Nell'espressione "economica" «z = y*(x*y)^2» [tre moltiplicazioni invece di quattro] il fattore "x*y" è l'area di un rettangolo di lati (x, y) e, fra i rettangoli isoperimetrici, la massima area è quella del quadrato: quindi il massimo per "(x*y)^2" è "(10*10)^2". Ma, per massimizzare "y*(x*y)^2", y dev'essere maggiore di x.
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"calcolare tutti i numeri" vuol dire valutare "z = y*(x*y)^2" per y = 1, 2, ..., 19.
"calcolarne bona parte" vuol dire valutare "z = y*(x*y)^2" per y = 11, 12, ..., 19.
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