Giulio ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 4 mesi fa

Generatori spazio vettoriale?

10 PUNTI ALLA MIGLIORE RISPOSTA!!

Sia V uno spazio vettoriale e siano v1,...,vn,w1,...,wm appartenenti a V.

Se v1,...,vn generano V, è vero che anche v1,...,vn,w1,...,wm generano V?

Se sì, lo si dimostri, altrimenti si esibisca un controesempio.

Bene secondo me la risposta è si, però non sono molto convinto della mia tesi, dato che non la riesco a dimostrare in maniera completa. Chiedo il vostro aiuto.

1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    4 mesi fa
    Risposta preferita

    La risposta è si.

    v1,....vn sono un insieme di generatori di V, per cui tutti i vettori di V si possono scrivere come combinazioni lineari di v1,....,vn.

    Sia v un generico elemento di V, v∈V allora esistono (a,b,....n) cioè n, costanti reali per cui

    v=av1+bv2+.....+nvn.  

    Consideriamo il primo elemento w1, per ipotesi

    w1∈V 

    Dimostriamo che v1,....,vn,w1 è ancora un insieme di generatori di V.

    Riprendiamo il vettore generico v, lo possiamo scrivere come combinazione lineare degli generatori v1,....vn,w1

    v=av1+bv2+.....+nvn+0w1

    e questo vale ∀v∈V.

    Possiamo così affermare che anche v1,....vn,w1 è un insieme di generatori di V.

    Con analoghi successivi cicli si dimostra che anche v1,...vn,w1,....wm è un insieme di generatori di V.

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