Generatori spazio vettoriale?

Question

10 PUNTI ALLA MIGLIORE RISPOSTA!!

Sia V uno spazio vettoriale e siano v1,...,vn,w1,...,wm appartenenti a V.

Se v1,...,vn generano V, è vero che anche v1,...,vn,w1,...,wm generano V?

Se sì, lo si dimostri, altrimenti si esibisca un controesempio.

Bene secondo me la risposta è si, però non sono molto convinto della mia tesi, dato che non la riesco a dimostrare in maniera completa. Chiedo il vostro aiuto.

Answer 1

Risposta preferita

La risposta è si.

v1,....vn sono un insieme di generatori di V, per cui tutti i vettori di V si possono scrivere come combinazioni lineari di v1,....,vn.

Sia v un generico elemento di V, v∈V allora esistono (a,b,....n) cioè n, costanti reali per cui

v=av1+bv2+.....+nvn.  

Consideriamo il primo elemento w1, per ipotesi

w1∈V 

Dimostriamo che v1,....,vn,w1 è ancora un insieme di generatori di V.

Riprendiamo il vettore generico v, lo possiamo scrivere come combinazione lineare degli generatori v1,....vn,w1

v=av1+bv2+.....+nvn+0w1

e questo vale ∀v∈V.

Possiamo così affermare che anche v1,....vn,w1 è un insieme di generatori di V.

Con analoghi successivi cicli si dimostra che anche v1,...vn,w1,....wm è un insieme di generatori di V.