AIUTO! Ho una verifica domani Funzioni logaritmiche do 5 stelle?

Question

Determina il dominio, l intersezione con gli assi,la positività delle seguenti funzioni 

Do 5 stelle a chi mi aiuta perfavore spiegatemi anche passaggio per passaggio partendo da 0 così capisco e imparo

Answer 1

Risposta preferita

y(x) = log [(x+2)/(x-3)]

Dominio.

Si tratta di una funzione logaritmica. Il logaritmo è definito per argomenti positivi.

[(x+2)/(x-3)] > 0

Per risolvere la disequazione usiamo la tecnica della griglia dei segni.

La radice di x+2 è -2. La radice di x-3 è +3.

Indichiamo il segno assunto dai due termini. 

.........-2......0........+3..........

--------0++++++++++++++  (x+2)

------------------------X++++++  (x-3)

++++0---------------X++++++  (x+2)/x+3)

Il simbolo X sta a indicare che il denominatore si annulla e quindi è da scartare.

I denominatori di qualsiasi rapporto non possono assumere il valore 0.

L'argomento del logaritmo è positivo per x<-2 V x>+3

Dominio = (-oo,-2) U (3,+oo)

Notiamo che lo 0 non appartiene al dominio.

Intersezione con gli assi.

Le intersezioni tra due curve si ottengono risolvendo il sistema composto dalle equazioni delle due curve.

Asse delle x

L'asse delle x ha equazione y=0.

Il sistema che si deve risolvere è

{y = log [(x+2)/(x-3)]

{y = 0

Risolviamolo per confronto

log [(x+2)/(x-3)] = 0 

il log si annulla quando l'argomento vale 1

(x+2)/(x-3) = 1

x+2 = x-3

2 = -3

Impossibile cioè nessuna soluzione, ovvero nessuna intersezione.

Asse delle y

L'asse delle y ha equazione x=0.

x=0 è un punto che non appartiene al dominio, quindi nessuna intersezione visto che per x=0 la funzione non è definita.

Positività della funzione.

La funzione è positiva quando l'argomento del logaritmo è superiore a 1

log [(x+2)/(x-3)] > 0

(x+2)/(x-3) > 1 (non conosciamo il segno del denominatore)

(x+2)/(x-3) -1 > 0

(x+2-x+3)/(x-3) > 0

5/(x-3) > 0

Il rapporto è positivo quando il denominatore è positivo 

x-3 > 0

x > 3

y(x) = log₂[(x²+1)/(x²-4)]

Dominio.

Stesse considerazioni del caso precedente.

Osserviamo che il numeratore (x²+1) è sempre positivo, l'argomento è positivo quando anche il denominatore è positivo.

x²-4 > 0

x² > 4

x <-2 V x > 2.

Dominio = (-oo,-2) U (2,+oo)

Intersezione con gli assi.

Asse delle y. Tale asse ha equazione x = 0. 

Il punto x = 0 non appartiene al dominio, quindi nessuna intersezione.

Asse delle x. Tale asse ha equazione y = 0.

{y = 0

{y = log₂[(x²+1)/(x²-4)]

per confronto

log₂[(x²+1)/(x²-4)] = 0

Argomento eguale a 1

(x²+1)/(x²-4) = 1

x²+1 = x²-4

+1 = -4

Impossibile, Nessuna intersezione.

Positività della funzione.

La funzione è positiva quando l'argomento del logaritmo (base 2) è superiore a 1

(x²+1)/(x²-4) > 1

(x²+1)/(x²-4) -1 > 0

(x²+1-x²+4) / (x²-4) > 0

5 / (x²-4) > 0

il numeratore è positivo per essere positivo anche il rapporto dovrà essere

x²-4 > 0

x² > 4

x < -2 V x > 2

cioè in tutto il dominio. In altre parole la funzione è sempre positiva.