Onor ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 2 mesi fa

Funzioni logaritmiche  Aiutatemi do 5 stelle e ringrazio ?

Determina il dominio, l intersezione con gli assi,la positività delle seguenti funzioni 

Do 5 stelle a chi mi aiuta perfavore spiegatemi anche passaggio per passaggio partendo da 0 così capisco e imparo

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1 risposta

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  • Anonimo
    2 mesi fa
    Risposta preferita

    y(x) = log [(x+2)/(x-3)]

    Dominio.

    Si tratta di una funzione logaritmica. Il logaritmo è definito per argomenti positivi.

    [(x+2)/(x-3)] > 0

    Per risolvere la disequazione usiamo la tecnica della griglia dei segni.

    La radice di x+2 è -2. La radice di x-3 è +3.

    Indichiamo il segno assunto dai due termini.

    .........-2......0........+3..........

    --------0++++++++++++++ (x+2)

    ------------------------X++++++ (x-3)

    ++++0---------------X++++++ (x+2)/x+3)

    Il simbolo X sta a indicare che il denominatore si annulla e quindi è da scartare.

    I denominatori di qualsiasi rapporto non possono assumere il valore 0.

    L'argomento del logaritmo è positivo per x<-2 V x>+3

    Dominio = (-oo,-2) U (3,+oo)

    Notiamo che lo 0 non appartiene al dominio.

    Intersezione con gli assi.

    Le intersezioni tra due curve si ottengono risolvendo il sistema composto dalle equazioni delle due curve.

    Asse delle x

    L'asse delle x ha equazione y=0.

    Il sistema che si deve risolvere è

    {y = log [(x+2)/(x-3)]

    {y = 0

    Risolviamolo per confronto

    log [(x+2)/(x-3)] = 0

    il log si annulla quando l'argomento vale 1

    (x+2)/(x-3) = 1

    x+2 = x-3

    2 = -3

    Impossibile cioè nessuna soluzione, ovvero nessuna intersezione.

    Asse delle y

    L'asse delle y ha equazione x=0.

    x=0 è un punto che non appartiene al dominio, quindi nessuna intersezione visto che per x=0 la funzione non è definita.

    Positività della funzione.

    La funzione è positiva quando l'argomento del logaritmo è superiore a 1

    log [(x+2)/(x-3)] > 0

    (x+2)/(x-3) > 1 (non conosciamo il segno del denominatore)

    (x+2)/(x-3) -1 > 0

    (x+2-x+3)/(x-3) > 0

    5/(x-3) > 0

    Il rapporto è positivo quando il denominatore è positivo

    x-3 > 0

    x > 3

    .

    .

    .

    y(x) = log₂[(x²+1)/(x²-4)]

    Dominio.

    Stesse considerazioni del caso precedente.

    Osserviamo che il numeratore (x²+1) è sempre positivo, l'argomento è positivo quando anche il denominatore è positivo.

    x²-4 > 0

    x² > 4

    x <-2 V x > 2.

    Dominio = (-oo,-2) U (2,+oo)

    Intersezione con gli assi.

    Asse delle y. Tale asse ha equazione x = 0.

    Il punto x = 0 non appartiene al dominio, quindi nessuna intersezione.

    Asse delle x. Tale asse ha equazione y = 0.

    {y = 0

    {y = log₂[(x²+1)/(x²-4)]

    per confronto

    log₂[(x²+1)/(x²-4)] = 0

    Argomento eguale a 1

    (x²+1)/(x²-4) = 1

    x²+1 = x²-4

    +1 = -4

    Impossibile, Nessuna intersezione.

    Positività della funzione.

    La funzione è positiva quando l'argomento del logaritmo (base 2) è superiore a 1

    (x²+1)/(x²-4) > 1

    (x²+1)/(x²-4) -1 > 0

    (x²+1-x²+4) / (x²-4) > 0

    5 / (x²-4) > 0

    il numeratore è positivo per essere positivo anche il rapporto dovrà essere

    x²-4 > 0

    x² > 4

    x < -2 V x > 2

    cioè in tutto il dominio. In altre parole la funzione è sempre positiva.

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