Nel teorema sull'unicità del limite perché ε<(m-l)/2?

Question

Perché scegliamo ε<(m-l)/2? E come si viene a creare l'intersezione tra gli intorni di xo? Non basta prendere un limite m sufficientemente grande sicché non si intersecano? 

Answer 1

Risposta preferita

Facciamo quella scelta per far risaltare la contraddizione che scaturisce dal

supporre che possano esistere due limiti diversi l ed m con l < m

In tale ipotesi ulteriore, per definizione di limite ( finito al finito ) risulta

simultaneamente

lim_x->xo   f(x) = l    =>   per ogni ε > 0  esiste d' > 0 : |x - xo| < d' =>

=>   l - ε < f(x) < l + ε

lim_x->xo   f(x) = m    =>   per ogni ε > 0  esiste d'' > 0 : |x - xo| < d'' =>

=>   m - ε < f(x) < m + ε

Ora se poniamo d <= min ( d', d'' ) e |x - xo| < d     ( x in ] xo - d, xo + d [  )

e scegliamo 0 < ε < (m - l)/2    risulta

l - ε <  f(x) < l + ε < m - ε < f(x) < m + ε

e l'assurdo é che f(x) appartiene contemporaneamente a due intervalli disgiunti

( ripeto, se    m - ε > l + ε  =>   l + ε < m - ε   =>   ε + ε < m - l =>  2 ε < m - l =>

=>  ε < (m - l)/2  e ricordo che ε > 0 deve essere QUALSIASI )