Cubic
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Cubic ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 2 mesi fa

Nel teorema sull'unicità del limite perché ε<(m-l)/2?

Perché scegliamo ε<(m-l)/2? E come si viene a creare l'intersezione tra gli intorni di xo? Non basta prendere un limite m sufficientemente grande sicché non si intersecano? 

1 risposta

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  • Anonimo
    2 mesi fa
    Risposta preferita

    Facciamo quella scelta per far risaltare la contraddizione che scaturisce dal

    supporre che possano esistere due limiti diversi l ed m con l < m

    In tale ipotesi ulteriore, per definizione di limite ( finito al finito ) risulta

    simultaneamente

    lim_x->xo   f(x) = l    =>   per ogni ε > 0  esiste d' > 0 : |x - xo| < d' =>

    =>   l - ε < f(x) < l + ε

    lim_x->xo   f(x) = m    =>   per ogni ε > 0  esiste d'' > 0 : |x - xo| < d'' =>

    =>   m - ε < f(x) < m + ε

    Ora se poniamo d <= min ( d', d'' ) e |x - xo| < d     ( x in ] xo - d, xo + d [  )

    e scegliamo 0 < ε < (m - l)/2    risulta

    l - ε <  f(x) < l + ε < m - ε < f(x) < m + ε

    e l'assurdo é che f(x) appartiene contemporaneamente a due intervalli disgiunti

    ( ripeto, se    m - ε > l + ε  =>   l + ε < m - ε   =>   ε + ε < m - l =>  2 ε < m - l =>

    =>  ε < (m - l)/2  e ricordo che ε > 0 deve essere QUALSIASI )

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