julia ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 2 mesi fa

mi potete risolvere questo esercizio?

y=(x^2+1)/(2x+5)

1 risposta

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  • Anonimo
    2 mesi fa

    y=(x^2+1)/(2x+5)

    .

    1. Dominio.

    Si tratta di una funzione razionale fratta (rapporto di due polinomi) quindi definita, continua e derivabile in tutto ℝ salvo i punti che annullano il denominatore.

    2x+5 ≠ 0

    x ≠ -5/2

    Dominio = ℝ \ {-5/2}

    .

    2. Intersezione con gli assi

    Asse delle y. L'asse delle ordinate ha equazione x=0

    {x=0

    {y=(x^2+1)/(2x+5)

    Per sostituzione. y=1/5.

    Si ha un'intersezione in P(0,1/5)

    Asse delle x.

    L'asse delle ascisse ha equazione y=0

    {y=0

    {y=(x^2+1)/(2x+5)

    Per confronto.

    x^2+1 = 0. Impossibile ovvero nessuna soluzione quindi nessuna intersezione.

    .

    3. Segno della funzione.

    Il numeratore è sempre positivo quindi il segno dipende unicamente dal segno del denominatore.

    y(x) < 0 per 2x+5 < 0 cioè x < -5/2

    y(x) > 0 per 2x+5 > 0 cioè x > -5/2

    .

    4. limiti e asintoti

    lim(x→-oo) y(x) = -oo 

    lim(x→+oo) y(x) = +oo 

    Per verificare la correttezza del segno confronta con il punto 3.

    Nessun asintoto orizzontale, verifichiamo con il calcolo l'eventuale presenza di asintoti obliqui

    m = lim (x→±oo) y(x)/x = 1/2 (± sta a indicare che i due limiti sono eguali)

    q = lim (x→±oo) y(x) - x/2 = lim (x→±oo) (2x^2+2-2x^2-5x)/2(2x+5) = -5/4

    Siamo in presenza di un asintoto obliquo di equazione 

    y=x/2-5/4

    .

    lim(x→-5/2⁻) y(x) = -oo

    lim(x→-5/2⁺) y(x) = +oo 

    Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x=-5/2

    .

    5. Massimi e minimi assoluti

    Un limite ci assicura che la funzione diverge a +oo quindi 

    Sup f(x) = +oo

    Non c'è alcun massimo assoluto.

    Un altro limite ci assicura che la funzione diverge a -oo quindi

    Inf f(x) = -oo

    Non c'è alcun minimo assoluto.

    .

    6. Massimi / minimi relativi e intervalli di monotonia

    Derivata prima y'(x) = 2(x²+5x-1) / (2x+5)² 

    Punti stazionari y'(x) = 0

    x²+5x-1 = 0

    Le due soluzioni sono 

    x₁ = (-5-√29)/2 

    x₂ = (-5+√29)/2

    Studiamo il segno della derivata prima

    ...........x₁............x₂.........

    +++++0-----------0+++++  2(x²+5x-1)

    ++++++++++++++++++   (2x+5)²

    +++++0-----------0+++++   y'(x) 

    .

    Intervalli di monotonia.

    La funzione y(x) è crescente in (-oo,x₁) U (x₂,+oo)

    La funzione y(x) è decrescente in (x₁,x₂)

    .

    Massimi/minimi

    x₁ è un punto di massimo relativo infatti la funzione cresce alla sua sinistra per poi decrescere alla sua destra. 

    Nel punto di massimo la funzione vale f(x₁) = (-5-√29)/2 

    x₂ è un punto di minimo relativo infatti la funzione decresce alla sua sinistra per poi crescere alla sua destra.

    Nel punto di minimo la funzione vale f(x₂) = (-5+√29)/2

    NB. I punti di Max/min coincidono con i valori assunti dalla funzione.

    7. Grafico

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT+y%3D%28...

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