Funzione continua?
è continua la seguente funzione?
Y =x^3 +x^2 -4
Nel intervallo (1,2) inclusi.
e applicare uno dei teoremi di continuità per valutare uno zero
2 risposte
- Anonimo2 mesi faRisposta preferita
La funzione è del tipo razionale intera quindi definita, continua e derivabile in tutto ℝ.
A maggior ragione sarà continua nell'intervallo chiuso [1,2] di ℝ.
Osserviamo che
Y(1) = -2 < 0
Y(2) = 8 > 0
La funzione assume segni discordi, ed essendo continua in un intervallo chiuso possiamo applicare il teorema di Bolzano o degli zeri, il quale afferma l'esistenza di almeno uno zero in (1,2).
Cioè esiste almeno un punto x₀∈(1,2) tale che Y(x₀) = 0.
Non è detto che x₀ sia un numero razionale, in tal caso possiamo esprimerlo tramite un'approssimazione commettendo un errore piccolo a piacere.
La tecnica più semplice è applicare la dicotomia,
-) si divide l'intervallo in due parti (1,a) , (a,2)
-) Si valuta il segno che la funzione assume in a
-) Si sceglie il sotto-intervallo in cui i segni sono discordi al quale possiamo di nuovo applicare Bolzano, si itera il procedimento sino ad ottenere un valore con la precisione desiderata.
Nel nostro caso
- ) dividiamo l'intervallo in (1,3/2) ; (3/2,2)
-) Y(3/2) = 13/8 > 0
-) Scegliamo il sotto-intervallo (1,3/2) dove la funzione assume segni discordi
iteriamo il procedimento
-) dividiamo l'intervallo in (1;1,3) ; (1,3;1,5)
-) Y(1,3) = -0,113 < 0
-) Scegliamo il sotto-intervallo (1,3;1,5) dove la funzione assume segni discordi
ci siamo molto vicini, iteriamo ancora una volta
-) dividiamo l'intervallo in (1,3;1,32) ; (1,32;1,5)
-) Y(1,32) = +0,042 > 0
-) Scegliamo il sotto-intervallo (1,3;1,32) dove la funzione assume segni discordi
Lo zero si trova in (1,3 ; 1,32) se si desidera un'approssimazione migliore si può iterare ancora il procedimento.
