Funzione continua?

è continua la seguente funzione?

Y =x^3 +x^2 -4

Nel intervallo (1,2) inclusi.

e applicare uno dei teoremi di continuità per valutare uno zero

2 risposte

Classificazione
  • Anonimo
    2 mesi fa
    Risposta preferita

    La funzione è del tipo razionale intera quindi definita, continua e derivabile in tutto ℝ.

    A maggior ragione sarà continua nell'intervallo chiuso [1,2] di ℝ.

    Osserviamo che 

    Y(1) = -2 < 0

    Y(2) = 8 > 0

    La funzione assume segni discordi, ed essendo continua in un intervallo chiuso possiamo applicare il teorema di Bolzano o degli zeri, il quale afferma l'esistenza di almeno uno zero in (1,2). 

    Cioè esiste almeno un punto x₀∈(1,2) tale che Y(x₀) = 0.

    Non è detto che x₀ sia un numero razionale, in tal caso possiamo esprimerlo tramite un'approssimazione commettendo un errore piccolo a piacere.

    La tecnica più semplice è applicare la dicotomia, 

    -) si divide l'intervallo in due parti (1,a) , (a,2)

    -) Si valuta il segno che la funzione assume in a 

    -) Si sceglie il sotto-intervallo in cui i segni sono discordi al quale possiamo di nuovo applicare Bolzano, si itera il procedimento sino ad ottenere un valore con la precisione desiderata.

    Nel nostro caso 

    - ) dividiamo l'intervallo in (1,3/2) ; (3/2,2)

    -) Y(3/2) = 13/8 > 0    

    -) Scegliamo il sotto-intervallo (1,3/2) dove la funzione assume segni discordi

    iteriamo il procedimento

    -) dividiamo l'intervallo in (1;1,3) ; (1,3;1,5)

    -) Y(1,3) = -0,113 < 0

    -) Scegliamo il sotto-intervallo (1,3;1,5) dove la funzione assume segni discordi

    ci siamo molto vicini, iteriamo ancora una volta

    -) dividiamo l'intervallo in (1,3;1,32) ; (1,32;1,5)

    -) Y(1,32) = +0,042 > 0

    -) Scegliamo il sotto-intervallo (1,3;1,32) dove la funzione assume segni discordi

    Lo zero si trova in (1,3 ; 1,32) se si desidera un'approssimazione migliore si può iterare ancora il procedimento. 

      

  • ?
    Lv 7
    2 mesi fa

    Mai visto un polinomio che non lo fosse.

Altre domande? Fai una domanda e ottieni le risposte che cerchi.