Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 2 mesi fa

Base in R3?

10 PUNTI ALLA MIGLIORE RISPOSTA!!

Determinare una base B = {b1, b2, b3} di R3 soddisfacente le seguenti condizioni:

Le coordinate del vettore (1, 1, 1) (nella base canonica) rispetto alla base B sono (1, 0, 0).

I vettori b1, b2 generano il sottospazio {(x, y, z)|x = y}.

Le coordinate del vettore (1, 0, 1) rispetto alla base B sono (1, 0, 1).

La base B richiesta `e unica?

Ho problemi con il secondo vincolo più che altro.

1 risposta

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  • Anonimo
    2 mesi fa
    Risposta preferita

    In base al primo vincolo, ( 1 1 1 ) = b1 * 1 + b2 * 0 + b3 * 0

    e quindi    b1 = (1 1 1)

    Per il terzo vincolo analogamente

    (1 0 1) = 1*b1 + 0*b2 + 1*b3    =>  b1 + b3 = (1 0 1)

    e quindi   b3 = (1 0 1) - (1 1 1) = (0 -1 0)

    Il sottospazio generato da {b1,b2} é (x,x,z) = x(1,1,0) + z(0,0,1) = x u1 + z u2

    Ora il vettore b1 si ottiene per x = 1 e z = 1     => la sua rappresentazione é (1,1)

    Dunque come b2 puoi scegliere qualunque vettore  p u1 + q u2

    con p e q distinti     ( p q ) non proporzionale a ( 1 1 ).

    Scegliendo ad esempio    ( p q ) = ( 1 - 1)   ottieni b2 = ( 1 1 -1 )

    e una possibile base B é { (1 1 1), (1 1 -1), (0 -1 0) }.

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