Per quali k la funzione y=((1/12)kx^4 ) -((2/3)x^3) +((1/2)kx^2) è concava in tutto R ?

Question

La soluzione è k minore o uguale a 2

Ho provato a porre la derivata seconda <0, ma non mi riporta

Answer 1

Risposta preferita

y'(x) = kx³ -2x² +kx

y"(x) = kx²-4x+k

La derivata seconda è un'equazione di secondo grado. Per essere negativa, o al più nulla in un punto, è necessario che

-) k < 0

-) discriminate Δ ≤ 0

Discriminante Δ ≤ 0 dignifica 

16-4*k² ≤ 0

k² ≥ 4

k≤-2 V k ≥ 2

Dovendo essere k < 0 la soluzione è k ≤ -2.

Verifichiamo che la soluzione k ≤ 2 è sicuramente errata.

Scegliamo k=0

y(x) = -(2/3) x³

questa funzione è convessa in (-oo,0] e concava in  [0,+oo). La risposta suggerita dal testo è errata.

Answer 2

Certamente sia la funzione che il risultato sono sbagliati.

Infatti, così com'è scritta la funzione

y = (1/12) k x^4 - (2/3) x^3 - (1/2) k x^2,

avremmo

y ' = (1/3) k x^3 - 2 x^2 - k x,

y '' = k x^2 - 4 x - k.

La condizione di concavità y '' <= 0 dà

k x^2 - 4 x - k <= 0;

ricordando la teoria delle equazioni di 2° grado, il primo membro è

negativo o nullo (per ogni x) se k < 0 e Δ <= 0;

ma Δ/4 = 4 + k^2 <= 0 è impossibile per ogni k.

Se cambiassimo di segno il terzo termine, e quindi

y = (1/12) k x^4 - (2/3) x^3 + (1/2) k x^2,

avremmo

y ' = (1/3) k x^3 - 2 x^2 + k x,

y '' = k x^2 - 4 x + k <= 0 per k < 0 e 4 - k^2 <= 0, quindi k <= - 2.

Se cambiassimo di segno il primo termine otterremmo k >= 2.

Cambiare di segno il secondo termine non serve a nulla.

Consiglierei la scelta del cambiamento di segno del terzo termine, con

la soluzione k <= - 2.

Answer 3

1. Per essere CONCAVA la derivata seconda deve essere > 0

  . .  e questa è la prima puttanâtä pazzesca

2. y" = kx2 - 4x + k

Studiamo il segno  nel caso k positivo o negativo.

Inoltre  DELTA = 16-4k2  ... quindi deve essere   -2 <= k <= 2

k>0   ossia 0 <k<=2:   esternamente alle 2 soluzioni

k<0  ossia -2<=k<0:   internamente alle 2 soluzioni

Cerca di esaminare i due casi... solo il primo funzionerà