Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 2 mesi fa

Per quali k la funzione y=((1/12)kx^4 ) -((2/3)x^3) +((1/2)kx^2) è concava in tutto R ?

La soluzione è k minore o uguale a 2

Ho provato a porre la derivata seconda <0, ma non mi riporta

3 risposte

Classificazione
  • 2 mesi fa
    Risposta preferita

    y'(x) = kx³ -2x² +kx

    y"(x) = kx²-4x+k

    La derivata seconda è un'equazione di secondo grado. Per essere negativa, o al più nulla in un punto, è necessario che

    -) k < 0

    -) discriminate Δ ≤ 0

    Discriminante Δ ≤ 0 dignifica 

    16-4*k² ≤ 0

    k² ≥ 4

    k≤-2 V k ≥ 2

    Dovendo essere k < 0 la soluzione è k ≤ -2.

    Verifichiamo che la soluzione k ≤ 2 è sicuramente errata.

    Scegliamo k=0

    y(x) = -(2/3) x³

    questa funzione è convessa in (-oo,0] e concava in  [0,+oo). La risposta suggerita dal testo è errata.

  • Anonimo
    2 mesi fa

    Certamente sia la funzione che il risultato sono sbagliati.

    Infatti, così com'è scritta la funzione

    y = (1/12) k x^4 - (2/3) x^3 - (1/2) k x^2,

    avremmo

    y ' = (1/3) k x^3 - 2 x^2 - k x,

    y '' = k x^2 - 4 x - k.

    La condizione di concavità y '' <= 0 dà

    k x^2 - 4 x - k <= 0;

    ricordando la teoria delle equazioni di 2° grado, il primo membro è

    negativo o nullo (per ogni x) se k < 0 e Δ <= 0;

    ma Δ/4 = 4 + k^2 <= 0 è impossibile per ogni k.

    Se cambiassimo di segno il terzo termine, e quindi

    y = (1/12) k x^4 - (2/3) x^3 + (1/2) k x^2,

    avremmo

    y ' = (1/3) k x^3 - 2 x^2 + k x,

    y '' = k x^2 - 4 x + k <= 0 per k < 0 e 4 - k^2 <= 0, quindi k <= - 2.

    Se cambiassimo di segno il primo termine otterremmo k >= 2.

    Cambiare di segno il secondo termine non serve a nulla.

    Consiglierei la scelta del cambiamento di segno del terzo termine, con

    la soluzione k <= - 2.

  • Sergio
    Lv 6
    2 mesi fa

    1. Per essere CONCAVA la derivata seconda deve essere > 0

      . .  e questa è la prima puttanâtä pazzesca

    2. y" = kx2 - 4x + k

    Studiamo il segno  nel caso k positivo o negativo.

    Inoltre  DELTA = 16-4k2  ... quindi deve essere   -2 <= k <= 2

    k>0   ossia 0 <k<=2:   esternamente alle 2 soluzioni

    k<0  ossia -2<=k<0:   internamente alle 2 soluzioni

    Cerca di esaminare i due casi... solo il primo funzionerà 

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