Onor ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 2 mesi fa

Calcola la derivata della seguente funzione  Cmcsafe per favore puoi aiutarmi in maniera più semplice non ho le basi  Do 5 stelle?

Numero 40 

Perfavore passaggio per passaggio io non ho le basi matematiche devo capire da 0

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2 risposte

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  • 2 mesi fa
    Risposta preferita

    La definizione di derivata si basa su due concetti.

    i) concetto di rapporto incrementale

    ii) concetto di limite.

    In particolare.

    La derivata di una funzione, calcolata nel punto x₀, è il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale.

    "Se esiste ed è finito" implica che la derivata può non esistere e che non ha senso dire che la derivata vale oo. Anche in questo ultimo caso diremo che non esiste.

    Definizione di rapporto incrementale. (Spero di usare i simboli del tuo libro)

    Il rapporto incrementale è il rapporto tra l'incremento della variabile dipendente Δf(x) a seguito di un incremento della variabile dipendente Δx; cioè

    Δf(x)/Δx =

    che possiamo scrivere, riferendoci al punto  x₀, come

    = [f(x₀+Δx) - f(x₀)] / Δx

    NB. L'incremento della funzione (variabile dipendente) se opero un incremento Δx sarà pari a [f(x₀+Δx) - f(x₀)].

    Prendiamo come esempio l'esercizio 40.

    x₀ = 3

    f(x) = x² - 3

    quanto vale la funzione nel punto x₀?

    f(x₀) = f(3) = 3²-3 = 6

    quanto vale Δx? 

    è un elemento variabile.

    Il rapporto incrementale calcolato nel punto x₀ sarà quindi

     [f(x₀+Δx) - f(x₀)] / Δx =  [f(3+Δx) - f(3)] / Δx = [f(3+Δx) - 6] / Δx =

    noi conosciamo la funzione, quindi possiamo proseguire

    = [(3+Δx)² - 3 -24] / Δx = (27+6(Δx)+(Δx)²-27) / Δx =

    = ((Δx)²+6(Δx)) / Δx =

    semplificando il Δx 

    = Δx + 6

    Passiamo al calcolo della derivata

    dalla definizione introduciamo il limite

    lim(Δx →0) Δf(x)/Δx = lim(Δx →0) Δx + 6 = 6

    essendo 6 un numero finito possiamo concludere che la derivata della funzione nel punto x₀=3 vale 6, in simboli

    [df(x)/dx]ₓ.₃ = df(3)/dx = f'(3) = 6

  • Anonimo
    2 mesi fa

    La definizione di derivata, o derivata prima di una funzione in un punto, prevede di definire la derivata come limite del rapporto incrementale della funzione nel punto, al tendere dell'incremento a zero.

    Indichiamo l'incremento con h.

    f(x + h) = (x + h)² - 3 = x² + 2hx + h² - 3

    f(x) = x² - 3

    Rapporto incrementale: 

    Δ = [f(x + h) - f(x)]/h = [x² + 2hx + h² - 3 - (x² - 3)]/h = [x² + 2hx + h² - 3 - x² + 3]/h =

    = [2hx + h²]/h = [h * (2x + h)]/h = 

    = 2x + h

    Derivata prima:

    f'(x) = lim h → 0 (Δ) = lim h → 0 (2x + h) = 2x

    Se: x = x₀ = 3 ===> f'(x₀) = f'(3) = 2 * 3 = 6

    Soluzione: 6

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