Calcola la derivata della seguente funzione Cmcsafe per favore puoi aiutarmi in maniera più semplice non ho le basi Do 5 stelle?

Question

Numero 40 

Perfavore passaggio per passaggio io non ho le basi matematiche devo capire da 0

Answer 1

Risposta preferita

La definizione di derivata si basa su due concetti.

i) concetto di rapporto incrementale

ii) concetto di limite.

In particolare.

La derivata di una funzione, calcolata nel punto x₀, è il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale.

"Se esiste ed è finito" implica che la derivata può non esistere e che non ha senso dire che la derivata vale oo. Anche in questo ultimo caso diremo che non esiste.

Definizione di rapporto incrementale. (Spero di usare i simboli del tuo libro)

Il rapporto incrementale è il rapporto tra l'incremento della variabile dipendente Δf(x) a seguito di un incremento della variabile dipendente Δx; cioè

Δf(x)/Δx =

che possiamo scrivere, riferendoci al punto  x₀, come

= [f(x₀+Δx) - f(x₀)] / Δx

NB. L'incremento della funzione (variabile dipendente) se opero un incremento Δx sarà pari a [f(x₀+Δx) - f(x₀)].

Prendiamo come esempio l'esercizio 40.

x₀ = 3

f(x) = x² - 3

quanto vale la funzione nel punto x₀?

f(x₀) = f(3) = 3²-3 = 6

quanto vale Δx? 

è un elemento variabile.

Il rapporto incrementale calcolato nel punto x₀ sarà quindi

 [f(x₀+Δx) - f(x₀)] / Δx =  [f(3+Δx) - f(3)] / Δx = [f(3+Δx) - 6] / Δx =

noi conosciamo la funzione, quindi possiamo proseguire

= [(3+Δx)² - 3 -24] / Δx = (27+6(Δx)+(Δx)²-27) / Δx =

= ((Δx)²+6(Δx)) / Δx =

semplificando il Δx 

= Δx + 6

Passiamo al calcolo della derivata

dalla definizione introduciamo il limite

lim(Δx →0) Δf(x)/Δx = lim(Δx →0) Δx + 6 = 6

essendo 6 un numero finito possiamo concludere che la derivata della funzione nel punto x₀=3 vale 6, in simboli

[df(x)/dx]ₓ.₃ = df(3)/dx = f'(3) = 6

Answer 2

La definizione di derivata, o derivata prima di una funzione in un punto, prevede di definire la derivata come limite del rapporto incrementale della funzione nel punto, al tendere dell'incremento a zero.

Indichiamo l'incremento con h.

f(x + h) = (x + h)² - 3 = x² + 2hx + h² - 3

f(x) = x² - 3

Rapporto incrementale: 

Δ = [f(x + h) - f(x)]/h = [x² + 2hx + h² - 3 - (x² - 3)]/h = [x² + 2hx + h² - 3 - x² + 3]/h =

= [2hx + h²]/h = [h * (2x + h)]/h = 

= 2x + h

Derivata prima:

f'(x) = lim h → 0 (Δ) = lim h → 0 (2x + h) = 2x

Se: x = x₀ = 3 ===> f'(x₀) = f'(3) = 2 * 3 = 6

Soluzione: 6