come si può dimostrare (senza usare grafici) che ln(1+t)>=t per ogni t in [0,1]? grazie?

Answer 1

Risposta preferita

t ≥ ln(1+t) per ogni t in [0,1]

per t = 0 si trasforma in una uguaglianza quindi è verificata.

Rimane da provare per t in (0,1]  Applichiamo la base esponenziale (ricordo che la funzione esponenziale è una funzione crescente)e^t ≥ e^ln(1+t)e^t ≥ 1+tl'esprimiamo l'esponenziale come serie di Taylor1+t+t²/2! + t³/3! + t⁴/4! + ...... ≥ 1+tt²/2! + t³/3! + t⁴/4! + ...... ≥ 0a sinistra abbiamo una serie con termini solo positivi quindi è verificata.La disequazione è verificata in [0,+oo) a maggior ragione in [0,1]

Answer 2

In realtà é il contrario ln(1 + t) <= t    in [0,1]

Puoi dimostrare che il massimo assoluto di d(t) = ln(1+t) - t in [0,1]

che esiste per il Teorema di Weierstrass, é non positivo

d'(t) = 1/(1 + t) - 1 = (1 - 1 - t )/(1 + t) = - t/(1 + t)

ha il numeratore negativo o nullo in [0,1] e il denominatore positivo.

Allora d'(t) é negativa => d(t) è decrescente => M = d(0) = ln(1) - 0 = 0

Per cui d(t) < 0 in ]0,1] e ne risulta la disuguaglianza ( corretta ).