Fede ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Problema equazioni differenziali?

Ciao a tutti, ho iniziato da poco le equazioni differenziali e sto avendo delle difficoltà con alcuni problemi di cauchy. Vi metto un esempio

y' = y-1

y(0) = 0

Il mio problema sta nel fatto che ad un certo punto nei calcoli mi trovo un ln con un modulo come argomento, e non so se prendere questo modulo positivo o negativo.

Qualcuno mi può aiutare? Grazie in anticipo

Aggiornamento:

Se possibile mi potete mettere la soluzione con i passaggi del problema che ho scritto?

5 risposte

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  • Anonimo
    1 mese fa
    Risposta preferita

    y' = y - 1 <=== Nota: "y' = dy/dx" ovvero la derivata prima di y in funzione di x.

    dy/dx = y - 1 <=== Moltiplichiamo entrambi i membri per dx.

    dy = (y - 1) dx <=== Dividiamo entrambi i membri per (y - 1).

    dy/(y - 1) = dx <=== Integriamo ambo i membri.

    ∫dy/(y - 1) = ∫dx <=== Nota: dy/(y - 1) = 1/(y - 1) dy

    ∫1/(y - 1) dy = ∫dx

    lnIy - 1I = x + C <=== Con "C" una costante arbitraria. Il valore assoluto dipende dal fatto che l'argomento del logaritmo debba essere strettamente positivo. 

    Si sfrutta la funzione esponenziale, come funzione inversa del logaritmo. L'argomento del logaritmo, per la definizione stessa di logaritmo, è uguale alla base del logaritmo elevata al risultato del logaritmo. In questo caso abbiamo a che fare col logaritmo naturale, quindi la base è e. Se : ln(u) = v ===> e^v = u. 

    Iy - 1I = e^(x + C)

    Possiamo rimuovere il valore assoluto, essendo e^(x + C) una funzione esponenziale, quindi sempre positiva per ogni valore di x.

    y - 1 = e^(x + C)

    y = 1 + e^(x + C) <=== Proprietà delle potenze: a^(b + c) = a^b * a^c

    y = 1 + e^(x) * e^(C) <=== Possiamo porre nuovamente e^(C) = C, trattandosi di una costante arbitraria.

    y = 1 + Ce^x

    Per determinare C, basta sostituire la condizione al contorno y(0) = 0.

    ===> 0 = 1 + Ce^0 ===> 0 = 1 + C * 1 ===> 0 = 1 + C ===> C = -1

    La soluzione del problema è quindi:

    y = 1 + (-1) * e^x ===> y = 1 - e^x 

  • Anonimo
    1 mese fa

    attent* a pietro planezio vecchio viscido e oubaas (pietro planezio). Yaya e mg infamatori bugiardi entrambi account di pietro planezio (oubaas)

  • 1 mese fa

    Riscriviamola in forma canonica.

    y'-y=-1

    Troviamo dapprima le soluzioni dell'omogenea associata. Il passo successivo è determinare una soluzione particolare. Si avranno così le soluzioni generali dell'equazione differenziale data.

    Per concludere, si calcola il calore da attribuire alle costanti per determinare la soluzione del Pb. di Cauchy.

    i)

    Omogenea associata y'-y =0

    Polinomio caratteristico P(λ) = λ-1

    Autovalori P(λ)=0 quindi λ=1

    Soluzioni equazione omogenea y(x) = c₁e^(λx) = c₁e^x

    ii)

    Soluzione particolare dell'equazione y'-y=-1

    Il termine noto è un polinomio di grado 0, quindi cerchiamo una soluzione che sia un generico polinomio di grado 0 (cioè una costante, che indichiamo con A)

    y(x)=A

    per cui

    y'(x) = 0

    sostituendo i termini nell'equazione y'-y=-1 avremo

    0-A = -1 

    quindi A = 1

    La soluzione particolare è y(x) = 1

    iii) 

    Soluzione generale dell'equazione data y'-y=-1

    Non è altro che la somma delle soluzioni dell'omogenea con la soluzione particolare

    y(x) = c₁e^x + 1

    iv)

    Problema di Cauchy.

    imponendo la condizione y(0) = 0 troveremo il valore da attribuire a c₁. In tal modo si otterrà una unica soluzione.

    {y(x) = c₁e^x + 1

    {y(0) = 0

    per cui 

    c₁e^0 + 1 = 0

    c₁ = -1

    La soluzione del problema di Cauchy è

    y(x) = -e^x + 1 = 1-e^x

  • 1 mese fa

    cosa mangi a pranzo?

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  • Anonimo
    1 mese fa

    dy/dt = y - 1

    Separando le variabili

    dy/(y - 1) = dt

    integrando

    ln |y - 1| = t + C

    passando agli esponenziali

    | y - 1 | = e^t * e^C

    e poiché C é arbitraria

    |y - 1| = C e^t

    y - 1 = +- C e^t

    e poiché C é arbitraria

    y - 1 = C e^t     dove ora C può essere di segno qualsiasi.

    Imponendo la condizione iniziale

    0 - 1 = C*e^0

    C = -1

    y = 1 - e^t

    Verifica     dy/dt = - e^t = 1 - e^t - 1 = y - 1

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