come analizzo questa disuguaglianza?
|x|+|x−2|−|(x+ 1)(x−2)|≥0
Come analizzo la disuguaglianza sopra nella disequazione nelle diverse zone x≤−1, −1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ x <2, x >2?
1 risposta
- cmcsafeLv 72 mesi faRisposta preferita
Disegniamo una griglia che rappresenta i segni degli argomenti dei moduli
..........-1.......0..........2........
-----------------0++++++++++ x
----------------------------0++++ (x-2)
++++++0----------------0++++ (x+1)(x-2)
Consideriamo i 4 casi:
1. SE x≤-1
Il primo e il secondo addendo sono negativi il terzo positivo o nullo.
Per la definizione di valore assoluto si avrà:
-x-x+2-(x+1)(x-2) ≥ 0
che ammette soluzioni in [(-1-√17)/2 , -1]
La soluzione di questo caso è quindi
S₁ = -(1+√17)/2) ≤ x ≤-1
2. SE -1<x≤0
tutte e 3 gli addendi sono negativi quindi
-x-x+2+(x+1)(x-2) ≥ 0
è verificata per x≤0 V x≥3
La soluzione di questo caso è quindi
S₂ = -1<x≤0
3. Se 0<x≤2
il primo è positivo gli altri due negativi
x-x+2+(x+1)(x-2) ≥ 0
è verificata per x≤0 V x≥1
La soluzione di questo caso è quindi
S₃ = 1≤x≤2
4. Se x>2
Sono tutti positivi
x+x-2-(x+1)(x-2) ≥ 0
è verificata in 0≤x≤3
La soluzione di questo caso è quindi
S₄ = 2<x≤3
La soluzione della disequazione data è l'unione dei 4 insiemi soluzione, cioè
S = S₁ U S₂ U S₃ U S₄ = -(1+√17)/2) ≤ x ≤ 0 V 1 ≤ x ≤3
