Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 2 mesi fa

come analizzo questa disuguaglianza?

|x|+|x−2|−|(x+ 1)(x−2)|≥0 

Come analizzo la disuguaglianza sopra nella disequazione nelle diverse zone x≤−1, −1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ x <2, x >2?

1 risposta

Classificazione
  • 2 mesi fa
    Risposta preferita

    Disegniamo una griglia che rappresenta i segni degli argomenti dei moduli

    ..........-1.......0..........2........

    -----------------0++++++++++  x

    ----------------------------0++++ (x-2)

    ++++++0----------------0++++ (x+1)(x-2)

    Consideriamo i 4 casi:

    1. SE x≤-1 

    Il primo e il secondo addendo sono negativi il terzo positivo o nullo.

    Per la definizione di valore assoluto si avrà:

    -x-x+2-(x+1)(x-2) ≥ 0 

    che ammette soluzioni in [(-1-√17)/2 , -1]

    La soluzione di questo caso è quindi

    S₁ = -(1+√17)/2) ≤ x ≤-1  

    2. SE -1<x≤0 

    tutte e 3 gli addendi sono negativi quindi

    -x-x+2+(x+1)(x-2)  ≥ 0 

    è verificata per x≤0 V x≥3

    La soluzione di questo caso è quindi

    S₂ = -1<x≤0  

    3. Se 0<x≤2

    il primo è positivo gli altri due negativi

    x-x+2+(x+1)(x-2) ≥ 0

    è verificata per x≤0 V x≥1

    La soluzione di questo caso è quindi

    S₃ = 1≤x≤2

    4. Se x>2

    Sono tutti positivi 

    x+x-2-(x+1)(x-2)  ≥ 0 

    è verificata in 0≤x≤3

    La soluzione di questo caso è quindi

    S₄ = 2<x≤3

    La soluzione della disequazione data è l'unione dei 4 insiemi soluzione, cioè

    S = S₁ U S₂ U S₃ U S₄ = -(1+√17)/2) ≤ x ≤ 0 V 1 ≤ x ≤3  

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