Aiuto per favore sui fasci propri?

Question

Devo trovare il centro del fascio 

3kx+5y-2k=0

3k+2kx+x-2y-3=0

Answer 1

Cara Pinkmood,

benvenuta fra gli utenti di Y!A Matematica e scienze, ma cominci maluccio!

Se non hai nemmeno una risposta non serve a nulla riproporla pari pari: devi riformularla spiegando cosa cerchi.

Un lettore che non capisce non può risponderti.

Dire che vuoi "svolgere" l'equazione di un fascio di rette NON SIGNIFICA NULLA: gli esercizi sui fasci chiedono di trovare il valore del parametro per cui la retta corrispondente soddisfà a una data condizione.

Nessuna delle tue domande ha un quesito del genere.

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Le equazioni che hai ossessivamente riproposto sono le quattro seguenti.

1) 2*x - 3*y + k - 1 = 0 ≡ y = (2/3)*x + (k - 1)/3

2) y = 3*x - k ≡ 3*x - y - k = 0

3) 3*k + 2*k*x + x - 2*y - 3 = 0 ≡ (2*k + 1)*x - 2*y + 3*k - 3 = 0

4) 3*k*x + 5*y - 2*k = 0

che si possono suddividere fra quelle che hanno solo il termine noto parametrico

1) y = (2/3)*x + (k - 1)/3

2) y = 3*x - k

quindi rappresentano fasci di parallele con la pendenza [2/3 e 3] pari al coefficiente di x nella forma esplicita; e quelle che hanno parametrico almeno uno dei coefficienti delle variabili

3) (2*k + 1)*x - 2*y + 3*k - 3 = 0

4) 3*k*x + 5*y - 2*k = 0

quindi non possono rappresentare fasci di parallele.

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TRATTAMENTO #1

Le equazioni che hanno parametrico solo il termine noto si devono ridurre a una delle due forme

* x = k [fascio di parallele all'asse y]

* y = m*x + q [fascio di parallele con la pendenza m; se m = 0, parallele all'asse x]

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TRATTAMENTO #2

Le equazioni che hanno parametrico almeno uno dei coefficienti delle variabili hanno la generica forma

* a(k)*x + b(k)*y + c(k) = 0

e in esse si distinguono alcuni sottocasi, secondo cosa è costante e cosa è parametrico.

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2a) - a(k)/b(k) = m [= costante]

fascio improprio di pendenza m.

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2b) b(k) = b [= costante]

2b1) b = 0 → x = - c(k)/a(k) [fascio di parallele all'asse y, definite per a(k) != 0]

2b2) b != 0 → y = - (a(k)/b)*x - c(k)/b [fascio proprio]

Il centro del caso 2b2 si trova intersecando le rette corrispondenti a due qualsiasi valori di k, p.es. zero e uno.

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2c) a(k) = a [= costante]

2c1) a = 0 → y = - c(k)/b(k) [fascio di parallele all'asse x, definite per b(k) != 0]

2c2) a != 0 → x = - (b(k)/a)*y - c(k)/a [fascio proprio]

Il centro del caso 2c2 si trova intersecando le rette corrispondenti a due qualsiasi valori di k, p.es. zero e uno.

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2d) c(k) = c [= costante]

2d1) c = 0 → y = - a(k)/b(k) [fascio centrato nell'origine]

2d2) c != 0 → rientra nel caso generale

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2e) caso generale: tutt'e due a(k) e b(k) sono parametrici.

Le coordinate del centro si trovano azzerando prima l'uno e poi l'altro di a(k) e b(k).

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UFFA, BASTA COSI'?

Answer 2

a)  riscrivi l'equazione come

k(3x - 2) + 5y = 0

e metti a sistema le equazioni delle generatrici

{ 3x - 2 = 0

{ 5y = 0

3x = 2 =>   x = 2/3

y = 0/5 = 0

C = (2/3; 0)

b)   3k + 2kx +x -2y  -3 = 0

k ( 3 + 2 x ) + (x - 2 y - 3) = 0

come prima

{ 3 + 2 x = 0

{ x - 2y - 3 = 0

{ 2x = - 3

{ 2y = x - 3

{ x = - 3/2

{ 2y = -3/2 - 3  = -9/2

{ x = - 3/2

{ y = - 9/4

C = (-3/2;  - 9/4 )