Base e coordinate in spazi vettoriali?

Question

Come si risolve il 4.3 della figura ?

Answer 1

Risposta preferita

4.1) 

La dimℝ³ =3

B è composto da 3 vettori, per essere una base è sufficiente che siano linearmente indipendenti.

Calcoliamone in determinante con Laplace puntando la prima colonna

detB = 1*(2-3) = -1. La matrice non è degenere quindi i vettori che la compongono sono linearmente indipendenti. B è una base di ℝ³.

4.2)

Se pongo i vettori che compongono B in colonna ottengo una matrice che trasforma i vettori espressi con la base B in vettori espressi con la canonica.

La domanda invece è di trasformare un generico vettore (x,y,z) espresso con la canonica in un vettore con le coordinate B. Sarà quindi necessario determinare l'inversa di B.

(0,2,1)

(0,3,1) = B

(1,1,1)

La sua inversa è 

(-2,1,1)

(-1,1,0) = B⁻¹

(3,-2,0)

Il generico vettore (x,y,z) in canonica sarà trasformato nel vettore in B formato dalle seguenti coordinate.

(-2,1,1) .(x)

(-1,1,0)*(y) = (-2x+y+z, -x+y, 3x-2y)

(3,-2,0) .(z)

4.3 

Il vettore x espresso in coordinate B come (4,-5,6) ha coordinate canoniche (xe) che si ottengono dalla

B*x = xe 

(0,2,1) .(.4) 

(0,3,1)* (-5) = (-4,-9,5)

(1,1,1).(.6)