Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica · 1 mese fa

Base e coordinate in spazi vettoriali?

Come si risolve il 4.3 della figura ?

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  • Anonimo
    1 mese fa
    Risposta preferita

    4.1) 

    La dimℝ³ =3

    B è composto da 3 vettori, per essere una base è sufficiente che siano linearmente indipendenti.

    Calcoliamone in determinante con Laplace puntando la prima colonna

    detB = 1*(2-3) = -1. La matrice non è degenere quindi i vettori che la compongono sono linearmente indipendenti. B è una base di ℝ³.

    4.2)

    Se pongo i vettori che compongono B in colonna ottengo una matrice che trasforma i vettori espressi con la base B in vettori espressi con la canonica.

    La domanda invece è di trasformare un generico vettore (x,y,z) espresso con la canonica in un vettore con le coordinate B. Sarà quindi necessario determinare l'inversa di B.

    (0,2,1)

    (0,3,1) = B

    (1,1,1)

    La sua inversa è 

    (-2,1,1)

    (-1,1,0) = B⁻¹

    (3,-2,0)

    Il generico vettore (x,y,z) in canonica sarà trasformato nel vettore in B formato dalle seguenti coordinate.

    (-2,1,1) .(x)

    (-1,1,0)*(y) = (-2x+y+z, -x+y, 3x-2y)

    (3,-2,0) .(z)

    4.3 

    Il vettore x espresso in coordinate B come (4,-5,6) ha coordinate canoniche (xe) che si ottengono dalla

    B*x = xe 

    (0,2,1) .(.4) 

    (0,3,1)* (-5) = (-4,-9,5)

    (1,1,1).(.6)

     

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