Come si studia la seguente serie numerica?

Come posso studiare questa serie al variare di x reale?

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  • 1 mese fa
    Risposta preferita

    Spezziamo la serie in due (teoremi algebrici sulle serie).

    = Σ₁ n/(n³+1) + Σ₁ (3²ˣ)ⁿ 

    1. La serie Σ₁ n/(n³+1) ha un termine generale positivo (o converge o diverge a +oo)

    Applichiamo il criterio del confronto (carabinieri per  serie) altrettanto valido è il criterio della convergenza asintotica

    0 ≤ n/(n³+1) ≤ n/n³ = 1/n²

    La serie Σ1/n² è una serie armonica generalizzata con p = 2 > 1 quindi convergente. 

    Per il teorema del confronto la 1° serie convergerà.

    .

    2. Σ₁ (3²ˣ)ⁿ 

    è una serie geometrica di ragione q=3²ˣ quindi

    2.1 diverge a +oo per q ≥ 1 cioè  3²ˣ ≥ 3º ovvero x≥0

    2.2 converge a 1/(1-q) per |q|<1 cioè 3²ˣ < 1 ovvero x < 0   

    .

    Conclusione. 

    Essendo la serie data somma di due serie avremo che

    -) sarà divergente per  x≥0

    -) sarà convergente per x<0

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