Come si studia la seguente serie numerica?

Question

Come posso studiare questa serie al variare di x reale?

Answer 1

Risposta preferita

Spezziamo la serie in due (teoremi algebrici sulle serie).

= Σ₁ n/(n³+1) + Σ₁ (3²ˣ)ⁿ 

1. La serie Σ₁ n/(n³+1) ha un termine generale positivo (o converge o diverge a +oo)

Applichiamo il criterio del confronto (carabinieri per  serie) altrettanto valido è il criterio della convergenza asintotica

0 ≤ n/(n³+1) ≤ n/n³ = 1/n²

La serie Σ1/n² è una serie armonica generalizzata con p = 2 > 1 quindi convergente. 

Per il teorema del confronto la 1° serie convergerà.

.

2. Σ₁ (3²ˣ)ⁿ 

è una serie geometrica di ragione q=3²ˣ quindi

2.1 diverge a +oo per q ≥ 1 cioè  3²ˣ ≥ 3º ovvero x≥0

2.2 converge a 1/(1-q) per |q|<1 cioè 3²ˣ < 1 ovvero x < 0   

.

Conclusione. 

Essendo la serie data somma di due serie avremo che

-) sarà divergente per  x≥0

-) sarà convergente per x<0