Come si studia la seguente serie numerica?

Come posso studiarla questa?

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2 risposte

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  • 1 mese fa
    Risposta preferita

    -) Serie a termini positivi.

    -) Condizione necessaria per la convergenza

    lim(n→+oo) log(1+1/n) = 0

    Non possiamo concludere nulla

    -) Applichiamo il criterio della convergenza uniforme

    log (1+1/n) ∼ 1/n

    Passando alla serie

    Σ 1/n 

    quest'ultima diverge essendo la serie armonica.

    --------------------------------------------------------------

    Per dimostrare che log (1+1/n) ∼ 1/n è sufficiente determinare il limite del loro rapporto e verificare che non sia 0 oppure +oo.

    lim(n→+oo) (log(1+1/n))/(1/n) = 1

    infatti con un cambio di variabile si ottiene un limite notevole

    poniamo x=1/n in questo caso se n→+oo allora x→0⁺

    il limite si trasforma nel

    lim(x→0⁺) log(1+x)/x = 1

    che è un limite notevole.

  • 1 mese fa

    log(1+ 1/n) = log( (n+1)/n ), ovvero un rapporto dentro ad un logaritmo, che per proprietà dei logaritmi diventa log(n+1) -  log(n)

    a questo punto quindi la nostra serie è somme per n da 1 a infinito di log(n+1) - log(n)

    cerchiamo la somma fino all'n-esimo termine, detta Sn:

    essa è data da ln(2) - ln(1) + ln(3) - ln(2) + ..... ln(n+1) - ln(n)

    dove si cancellano tutti i termini tranne ln(n+1) - ln(1) perchè compaiono solo una volta.

    dunque la somma della serie è data dal limite per n all'infinito di Sn ovvero dal limite per n che tende all'infinito di ln(n+1) - ln(2), ovvero si ha che la serie diverge positivamente.

    Ovviamente si può usare anche il criterio del rapporto come esposto dall'altro utente; anche se per serie telescopiche ti consiglierei di provare direttamente a calcolare la somma, in modo da averla direttamente nel caso in cui la serie converga.

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