Come si studia la seguente serie?

Question

Come posso studiare la seguente serie numerica? La serie è tratta dallo stesso compito della precedente, in questo caso valgono ragionamenti analoghi?

Answer 1

Risposta preferita

Σ {2^[n^x(1-cos(1/n²)] -1}

-) serie a termini positivi o converge o diverge a +oo

-) condizione necessaria alla convergenza.

lim an = 0 se e solo se lim [n^x(1-cos(1/n²)] = 0 se e solo se x≤4, quindi

• per x > 4 la serie diverge a +oo (non viene rispettata la condizione necessaria)

•)per x ≤ 4 operiamo un cambio di variabile, non necessario ma lo ritengo più leggibile. poniamo y=-x quindi avremo

Σ {2^[(1-cos(1/n²))/nʸ] -1}

Avendo in mente i limiti notevoli usiamo il criterio di convergenza asintotica

(1-cos(1/n²)) ∼ 1/n⁴

quindi possiamo analizzare la serie che segue, visto che manifesta lo stesso comportamento

Σ 2^(1/n⁴⁺ʸ) - 1

iteriamo la convergenza asintotica (rif. al limite notevole)

2^(1/n⁴⁺ʸ) - 1 ∼ 1/n⁴⁺ʸ

Ci siamo così ridotti a studiare

Σ1/n⁴⁺ʸ

cioè la serie armonica generalizzata con p=4+y.

◦ se p > 1 è convergente cioè 4+y > 1 ovvero y > -3 ritornando alla variabile x

-x > -3 => x < 3

◦ se p ≤ 1 è divergente cioè 4+y ≤ 1 ovvero y ≤ -3 ritornando alla variabile x

-x ≤ -3 => x ≥ 3

Conclusione.

La serie converge per x < 3

La serie diverge per x ≥ 3.