Come si studia la seguente serie?

Come posso studiare la seguente serie numerica? La serie è tratta dallo stesso compito della precedente, in questo caso valgono ragionamenti analoghi?

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  • 1 mese fa
    Risposta preferita

    Σ {2^[n^x(1-cos(1/n²)] -1}

    -) serie a termini positivi o converge o diverge a +oo

    -) condizione necessaria alla convergenza.

    lim an = 0 se e solo se lim [n^x(1-cos(1/n²)] = 0 se e solo se x≤4, quindi

    • per x > 4 la serie diverge a +oo (non viene rispettata la condizione necessaria)

    •)per x ≤ 4 operiamo un cambio di variabile, non necessario ma lo ritengo più leggibile. poniamo y=-x quindi avremo

    Σ {2^[(1-cos(1/n²))/nʸ] -1}

    Avendo in mente i limiti notevoli usiamo il criterio di convergenza asintotica

    (1-cos(1/n²)) ∼ 1/n⁴

    quindi possiamo analizzare la serie che segue, visto che manifesta lo stesso comportamento

    Σ 2^(1/n⁴⁺ʸ) - 1

    iteriamo la convergenza asintotica (rif. al limite notevole)

    2^(1/n⁴⁺ʸ) - 1 ∼ 1/n⁴⁺ʸ

    Ci siamo così ridotti a studiare

    Σ1/n⁴⁺ʸ

    cioè la serie armonica generalizzata con p=4+y.

    ◦ se p > 1 è convergente cioè 4+y > 1 ovvero y > -3 ritornando alla variabile x

    -x > -3 => x < 3

    ◦ se p ≤ 1 è divergente cioè 4+y ≤ 1 ovvero y ≤ -3 ritornando alla variabile x

    -x ≤ -3 => x ≥ 3

    Conclusione.

    La serie converge per x < 3

    La serie diverge per x ≥ 3.

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