moto e derivata quali valori si devono attribuire ad a e b perché la velocità di Sofia e di Filippo in almeno un istante siano uguale?

Question

Sofia e Filippo si muovono lungo la stessa strada rettilinea, partendo nello stesso istante t=o e fermandosi entrambi dopo 10 secondi. La velocità media di Sofia è 0,5 m/s. Supponendo che la legge oraria di Filippo sia sf(t) = (at+b)/(t+1)  e che sf(10)=6 m, quali valori si devono attribuire ad a e b per essere sicuri che la velocità di Sofia e di Filippo in almeno un istante siano uguale.

Answer 1

Risposta preferita

Imponiamo la condizione  sf(10) = 6

(10a + b)/(10 + 1) = 6 =>   10 a + b = 11* 6 =>   b = 66 - 10 a

Inoltre sappiamo che la velocità media di Sofia é 0.5 m/s, per cui

(ss(10) - ss(0))/10 = 0.5 =>   ss(10) - ss(0) = 5 =>   ss(10) = ss(0) + 5

Consideriamo la funzione  sf(t) - ss(t) : essa é continua e derivabile in [0;10]

per cui se imponiamo    sf(10) - ss(10) = sf(0) - ss(0)

per il teorema di Rolle vi sarà almeno un istante t* in ]0;10[ in cui risulterà

ss'(t*) - sf'(t*) = 0 =>  vs(t*) = vf(t*).

Otteniamo allora    

6 - ss(0) - 5 = (a*0 + b)/(0 + 1) - ss(0)

da cui 6 - 5 = b =>   b = 1.

Sostituendo nell'altra condizione   

1 = 66 - 10a

10 a = 66 - 1

a = 65/10 = 13/2, oppure 6.5.