Come si studia questa serie numerica?

Question

Come posso studiare invece questa serie? Esercizio in vista della prima prova di Analisi.

Answer 1

Risposta preferita

Σ (-1)ⁿ logn/n²

-) Serie a segni alterni

-) Condizione necessaria alla convergenza, soddisfatta

-) La convergenza può essere provata con Leibniz. 

• an ≥ 0 Vera, ∀n∈ℕ

• an ≥ an+1 definitivamente

Usiamo il criterio successioni-funzioni e studiamo la funzione

y(x) = logx/x²

y'(x) = (1-2logx)/x³ che risulta negativa ∀x>√e

La derivata prima risulta negativa quindi la funzione è decrescente ∀x>√e, come sono definitivamente decrescenti tutte le successioni, a indice crescente, estratte.

Vedi grafico della funzione.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT+y%28x%2...

• lim(n→+oo)  logn/n² = 0 Vera per confronto di infiniti.

Le ipotesi di Liebniz risultano tutte soddisfatte, La serie data è convergente. 

Answer 2