Esercizio di matematica?
Chi mi aiuta a trovare campi di esistenza, intersezione con gli assi, positività e negatività della funzione nella foto? Grazie mille
4 risposte
- Anonimo1 mese faRisposta preferita
y = (2x-x²) / log₃(x-5)
1. Dominio.
Si tratta di una funzione logaritmica fratta.
Il logaritmo, indipendentemente dalla base, è definito solo per argomenti positivi.
log(x-5) ==> x-5>0 ==> x > 5
Il denominatore non deve essere nullo
log₃(x-5) ≠ 0 ==> x-5 ≠ 1 ==> x ≠ 6
Dominio = (5,6) U (6,+oo)
2. Intersezione con gli assi.
-) Asse delle ordinate.
L'asse delle ordinate ha equazione x=0. In tale punto la funzione non è definita. Nessuna intersezione
-) Asse delle ascisse.
L'asse delle ordinate ha equazione y=0.
(2x-x²) / log₃(x-5) = 0
x(2-x) = 0
nei due punti x=0 V x=2 la funzione non è definita (cfr. Dominio).
Nessuna intersezione
3. Segno della funzione.
Osserviamo che.
-) Numeratore è negativo per ogni x del Dominio (è una parabola concava, che risulta positiva tra le sue due radici, cioè in (0,2))
-) Denominatore.
=) negativo per le x tra (5,6)
=) positivo per x>6
Possiamo così concludere
• y(x) > 0 in (5,6) (Num. e Den. entrambi negativi)
• y(x) < 0 in (6,+oo)
grafico della funzione.
- Anonimo1 mese fa
È senz'altro conveniente convertire il logaritmo in base 3 a logaritmo
naturale e riscrivere
y = (2 x - x^2) ln 3 / ln(x - 5).
Per il CE si hanno le condizioni
x > 5 (esistenza del logaritmo),
ln(x - 5) =/= 0, ovvero x - 5 =/= 1, x =/= 6.
La f è quindi definita sui due intervalli
(5, 6), (6, + oo).
Dell'intersezione con l'asse y (di equazione x = 0) non si può parlare
(infatti x > 5).
Per l'intersezione con l'asse x (di equazione y = 0) avremo
2 x - x^2 = 0, con soluzioni x = 0, x = 2, inaccettabili perché x > 5.
Dato che per x > 5 è senz'altro 2x - x^2 < 0, il segno della f sarà opposto
a quello del denominatore ln(x - 5), che è negativo per 5 < x < 6,
positivo per x > 6.
In conclusione la funzione è positiva per 5 < x < 6, negativa per x > 6.
