Spazio vettoriale, 10 punti!!?

Question

Devo svolgere questo esercizio:

Sia S l’insieme di tutti i vettori X a tre componenti X=x1, x2, x3 con x1,x2,x3∈R,tali che x1 +x2 +x3 =0 e x1−x2 +3x3=0.(a) Si dimostri che S (munito delle sue operazioni di addizione e moltiplicazione scalare) è uno spazio vettoriale.(b) Si verifichi che il vettore nullo appartiene a S.(c) Si dia un vettore non nullo di S.(d) Si dimostri che tutti i vettori non nulli di S sono proporzionali gli uni agli altri.Non ho la minima idea di come si risolva! Grazie mille a chiunque risponderà e 10 punti al migliore!

Answer 1

Risposta preferita

Possiamo provare ad esplicitarne  vettori

{ x1 + x2 + x3 = 0

{ x1 - x2 + 3x3 = 0

sommando

2x1 + 4 x3 = 0 =>   x1 = - 2x3

x2 = x1 + 3x3 = - 2x3 + 3x3 = x3

Posto x3 = t in R,

il generico v di X si può esprimere come v = (-2t, t, t) = t (-2,1,1)

Allora dati v1 e v2     

w = a v1 + b v2  = a t1 (-2,1,1) + b t2 (-2,1,1) = (at1 + bt2)*(-2,1,1) = c(-2,1,1)

ovvero ogni combinazione lineare di vettori di X é ancora un vettore di X.

Il vettore nullo si trova in X e si ottiene ponendo t = 0

Un vettore non nullo b si ottiene ponendo invece t = 1  : b = (-2,1,1).

Proporzionalità : sia t2 qualsiasi in R e t1 =/= 0

allora v2 = t2 (-2,1,1) = t2/t1 * t1(-2,1,1) = t21 * v1.

Answer 2

buona serataaaaaaaaaaaaaa