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Anonimo
Anonimo ha chiesto in Matematica e scienzeMatematica e scienze - Altro · 2 mesi fa

Spazio vettoriale, 10 punti!!?

Devo svolgere questo esercizio:

Sia S l’insieme di tutti i vettori X a tre componenti X=x1, x2, x3 con x1,x2,x3∈R,tali che x1 +x2 +x3 =0 e x1−x2 +3x3=0.(a) Si dimostri che S (munito delle sue operazioni di addizione e moltiplicazione scalare) è uno spazio vettoriale.(b) Si verifichi che il vettore nullo appartiene a S.(c) Si dia un vettore non nullo di S.(d) Si dimostri che tutti i vettori non nulli di S sono proporzionali gli uni agli altri.Non ho la minima idea di come si risolva! Grazie mille a chiunque risponderà e 10 punti al migliore!

2 risposte

Classificazione
  • Anonimo
    2 mesi fa
    Risposta preferita

    Possiamo provare ad esplicitarne  vettori

    { x1 + x2 + x3 = 0

    { x1 - x2 + 3x3 = 0

    sommando

    2x1 + 4 x3 = 0 =>   x1 = - 2x3

    x2 = x1 + 3x3 = - 2x3 + 3x3 = x3

    Posto x3 = t in R,

    il generico v di X si può esprimere come v = (-2t, t, t) = t (-2,1,1)

    Allora dati v1 e v2     

    w = a v1 + b v2  = a t1 (-2,1,1) + b t2 (-2,1,1) = (at1 + bt2)*(-2,1,1) = c(-2,1,1)

    ovvero ogni combinazione lineare di vettori di X é ancora un vettore di X.

    Il vettore nullo si trova in X e si ottiene ponendo t = 0

    Un vettore non nullo b si ottiene ponendo invece t = 1  : b = (-2,1,1).

    Proporzionalità : sia t2 qualsiasi in R e t1 =/= 0

    allora v2 = t2 (-2,1,1) = t2/t1 * t1(-2,1,1) = t21 * v1.

  • ?
    Lv 7
    2 mesi fa

    buona serataaaaaaaaaaaaaa

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