ciao qualcuno può aiutarmi con questo problema di controllo 4?

Question

Per le seguenti equazioni differenziali

1 Controlla se sono lineari o meno.

 2 In caso di essere lineare, considerare condizioni iniziali nulle e applicare il metodo di la trasformata di Laplace per ottenere la tua soluzione.

Answer 1

Risposta preferita

a) La prima equazione é lineare perché dati a e b in R

L [ ax1 + bx2 ] = (a x1 + b x2)'' + 4(ax1 + bx2)' + 6 (ax1 + bx2) =

= a(x1'' + 4x1' + 6x1) + b (x2'' + 4x2' + 6x2) = a L [x1] + b L [x2]

b) la seconda non é lineare perché dati a e b in R

F [ a y1 + b y2 ] = (a y1 + by2 )' + cos (a y1 + by2 ) =

= a y1' + b y2' + cos ay1 cos by2 - sin ay1 sin by2    non é identicamente uguale a

a y1' + cos ay1 + b y2' + cos by2

Si può allora operare solo sulla prima

Se X(s) = L [x(t)], trasformando con condizioni iniziali nulle

s^2 X + 4 s X + 6 X = 1/s + 1/(s + 1)

(s^2 + 4s + 6) X = (s + 1 + s)/[s (s + 1) ]

e resta solo da antitrasformare   X(s) =    (2s + 1)/[ s(s + 1)(s^2 + 4s + 6) ]

X(s) = A/s + B/(s + 1) + (Cs + D)/(s^2 + 4s + 6)

in cui deve risultare

A(s+1)(s^2 + 4s + 6) + Bs(s^2 + 4s + 6) + (Cs + D)(s^2 + s) = 2s + 1

A(s^3 + 4s^2 + 6s + s^2 + 4s + 6) + B(s^3 + 4s^2 + 6s) + (Cs^3+ Cs^2 + Ds^2 + Ds)

= 2s + 1

da cui

A + B + C = 0

5A + 4B + C + D = 0

10 A + 6B + D = 2

6A = 1

A = 1/6

Sottraendo la II dalla III

5A + 2B - C = 2

e sommando alla I

A + B + C = 0

--------------------------

6A + 3B = 2

1 + 3B = 2

3B = 1

B = 1/3

C = -A - B = -1/6 - 1/3 = -1/2

10 * 1/6 + 6/3 + D = 2   =>    D = -5/3

X(s) = 1/6 * 1/s + 1/3 * 1/(s + 1) - (1/2 s + 5/3)/(s^2 + 4s + 6)  =

= 1/6 * 1/s + 1/3 * 1/(s + 1) - 1/6 * (3s + 10)/(s^2 + 4s + 6)

x(t) = 1/6 + 1/3 e^(-t) - 1/6 * L^(-1) [ (3s + 6 + 4)/(s^2 + 4s + 6) ]

= 1/6 + 1/3 e^(-t) +

-1/6 L^(-1)[ 3(s + 2)/((s+2)^2 + (rad(2))^2) + 2 rad(2) * rad(2)/((s+2)^2 + (rad(2))^2) ]

e infine

x(t) = [ 1/6 + 1/3 e^(-t) - 1/2 e^(-2t) cos ( rad(2) t) - rad(2)/3 sin ( rad(2) t ) ] *1(t)

Answer 2

Anonimo = pluripregiudicato Planezio Pietro, da dove hai copiati domanda e risposta ?

Ah, ho scoperto

http://www.edutecnica.it/sistemi/laplace/laplace.h...