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Problema matematica ?

Classifica il fascio di rette di equazione (2+k)x+(1-k)y-3(k+1)=0  , trovando le generatrici e l’eventuale centro.

Determina per quali valori di k si ha una retta:

b. parallela agli assi cartesiani;

c. che forma con gli assi cartesiani un triangolo di area ;

d. perpendicolare all’asse del segmento di estremi A(-1;1) e B(0;4).

Aggiornamento:

Di area 9/4* 

1 risposta

Classificazione
  • Anonimo
    1 mese fa
    Risposta preferita

    a.

    Riscriviamo l'equazione del fascio

    2x+y-3+k(x-y-3) = 0

    -) Le due generatrici del fascio sono: 

    i) 2x+y-3=0

    ii) x-y-3=0

    -) Risolviamo il sistema tra le due generatrici per determinare le coordinate dell'eventuale centro 

    {2x+y-3=0

    {x-y-3=0

    L'unica soluzione è x=2; y=-1

    Le coordinate del centro sono C(2,-1)

    b.

    Rette del fascio parallele agli assi coordinati.

    -) asse delle y. Le rette parallele a tale asse hanno equazione x=h, in altre parole non compare il termine in y, per cui il suo coefficiente deve essere nullo

    1-k=0

    k=1

    -) asse delle x. Le rette parallele a tale asse hanno equazione y=h, in altre parole non compare il termine in x, per cui il suo coefficiente deve essere nullo

    2+k=0

    k=-2

    c. di area ?

    Il triangolo è rettangolo quindi è sufficiente valutare le intersezioni con gli assi

    -) Intersezione asse delle y

    {x=0

    {(2+k)x+(1-k)y-3(k+1)=0

    per sostituzione si ricava

    (1-k)y-3(k+1)=0 

    y = 3(k+1)/(1-k) 

    questa è l'entità di un cateto. 

    Analogamente si ricava 

    -) Intersezione asse delle x

    {y=0

    {(2+k)x+(1-k)y-3(k+1)=0

    per sostituzione si ricava

    (2+k)x-3(k+1)=0

    x=3(k+1)/(2+k)

    questa è l'entità dell'altro cateto. 

    Si applica la formula dell'aree e si ricava il k cercato.

    d. asse di estremi A(-1,1) e B(0,4)

    Osserviamo che l'asse del segmento è perpendicolare alla retta AB.

    Cerchiamo una retta perpendicolare all'asse, tale retta sarà quindi parallela alla retta AB, la cui equazione si ricava dalla formula della retta passante per due punti

    (y-yA/(yB-yA) = (x-xA)/(xB-xA)

    (y-1)/(4-1) = (x+1)

    y=3x+4 

    il suo coefficiente angolare m=3

    Le rette del fascio hanno coefficiente angolare m' 

    cambiamo segno per semplificare la vita

    (2+k)x-(k-1)y-3(k+1)=0

    y=(2+k)/k-1)*x-3(k+1)/(k-1)

    m' = (2+k)/k-1)

    determiniamo il k  corrispondente

    m'=3

    (2+k)/(k-1) = 3

    k=5/2

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